Clembou a écrit:Et une autre question, si on prouve quealors
?
Non tu confonds le fait qu'un nombre est rationnel SSI il peut s'ecrire sous la forme p/q avec p appartient à Z et q appartient à N* avec le fait qu'un nombre serait rationnel si et seuleument si il ne s'ecrivait que de cette forme (c'est ce que, ce que tu demandes insinue). Ce n'est pas du tout la même chose:
en terme d'implication logique ca donne:
ce qui est vrai: z appartient a Q ssi il existe p appartient a Z et q appartient a N* tel que z=p/q.
ce qui est faux: z appartient a Q si et seuleument si z ne peut s'ecrire autrement que sous la forme ci dessus.
Par contre si z=a/b appartient a Q alors cela implique que a=pr et b=qr avec p et q appartiennent a respectivement Z et N* et r un nombre quelquonque.
Dans ton exexemple r=PI. Tu peux donc deduire d'une ecriture rationnel le fait qu'elle est un nombre rationnel si le numerateur et le numerateur sont des multiples du meme nombre quelquonque:
exemple :
2PI/3PI avec 2PI et 3PI tout les deux des multiples de PI, 2racine(3)/racine(3), etc...
c.a.d: p appartient a Z, q appartient a N*--> p/q appartient a Q
mais q=a/b appartient à Q n'implique pas a appartient à Z et b appartient a N*.
Tu viens de montrer toi même que 1 qui est rationnel pouvait s'ecrire sous la forme d'un rapport d'irrationnel PI/PI, cette ecriture n'est donc pas la seul possible.
Tout simplement parce que en fait a partir d'un rapport rationnel c'est a dire p/q tu peux créer une infinité(non dénombrable evidemment) d'ecriture differente du moment que tu multiplies en haut et bas par le même nombre, rationnel, irrationnel ou même non réel, c'est a dire un complexe par exemple...
x * 1 / x * 1 =1 avec x le nombre que tu veux ou par exemple 2PI/3PI = 2/3.
PAR CONTRE SI TU RAJOUTES UNE CONDITION ALORS CA MARCHE:
La seul ecriture unique d'un rationnel que tu puisses avoir c'est celle d'un rapport de nombres premier entre eux, qui n'est rien d'autre que la celebre fraction irreductible.
i.e si h est un rationnel alors il existe un unique couple p et q de nombre premiers (ENTRE EUX), à un signe près, tel que h=p/q.
A partir de ce couple tu peux construire n'importe quelle ecriture.
Tu créeras ainsi des multiples commun à p et à q car tu multiplieras alors p et q par le même nombres pour garder le rapport constant.
Ces nouveaux nombres ainsi créés seront divisible par x avec h=px/qx et p et q premier entre eux.