Exercice mathématiques

[lola12968]

Bonjour à tous Je bloque complètement sur cet exercice et j'espère que vous pourrez m'aider !
Merci beaucoup

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note E l ensemble des points dont les coordonnées vérifient la relation : x^2 ÷25 + y^2 ÷9 = 1

A : définition bifocale d'une ellipse

On considère les points F(4;0) et F'(-4;0)

1) calculer les coordonnées des points d'intersection de E avec les axes du repère.

Donc quand x=0 et y=0 mais je n'arrive pas à résoudre l'équation

2) À l'aide du logiciel geogebra, tracer l ensemble É et faire une conjecture sur la somme des distances MF+MF' lorsque M est un point de E.

3) Soit M(x;y) un point E.

a) Exprimer y^2 en fonction de x^2 et en déduire que -5<ou = x < ou = 5

b) Montrer que MF^2 = ( (4/5)x-5)^2

c) sachant que x <ou= 5 , expliquer pourquoi MF= 5-(4/5x)

d) On admet que MF'=5+(4/5)x (la démonstration est analogue).
Que peut-on dire de la conjecture faite à la question n°2 ?

4) L'ensemble E s'appelle une ellipse et les points F et F' sont les foyers de cette ellipse. Comment un jardinier peut il procèder pour créer un parterre en forme d'ellipse ?

Je sais que ce devoir est long et que je n'ai encore rien fait...en tout cas que je n'ai rien réussi...mais j'espère que vous accepterez de m'aider.

Merci beaucoup

[pascal16]

il faut faire deux équation
x=0
x^2 ÷25 + y^2 ÷9 = 1 devient y^2 ÷9 = 1 soit y²=9 soit y=-3 ou y=+3
elle coupe l'axe des ordonnées en y=-3 ou y=+3
et une autre où y=0

[Black Jack]

Salut,

x²/25 + y²/9 = 1

1)
x = 0 --> y²/9 = 1
y² = 9
y = -3 ou y = 3
---> Les points de coordonnées (0 ;-3) et (0 ; 3)

Pareil avec y = 0
...
***********
3b)

M(X ; +/- 3*RCarrée(1 - X²/25)
M(X ; +/- 3/5 * RacineCarrée(25 - X²))

F(4 ; 0)

MF² = ...

Cela devrait te débloquer pour quasi tout.

[Black Jack]

Pas vu la réponse de pascal 16 avant d'envoyer la mienne.

[lola12968]

Pour y=0
E devient x^2/25=1<=> x^2=25<=> x=5 ou x=-5
Donc É coupe l'axe des abscisses aux points (5;0) et (-5;0)
... axe des les ordonnées aux points (0;3) et (0;-3)

[lola12968]

C'est ça ?
Il faut dire les 4 points ou "ou"?

[Pseuda]

Oui c'est ça.

[lola12968]

Donc je dis qu'il y a 4 points d'intersection
Mais c'est pas possible qu'il y ait 2 intersections avec les abscisses 2 avec les ordonnées
Ce n'est plus une droite non?

[lola12968]

A d'accord l'ensemble É est une ellipse c'est pour ça

Pour la figure
Quel est le point M?

[lola12968]

A d'accord l'ensemble É est une ellipse c'est pour ça

Pour la figure
Quel est le point M?

Et comment exprimer y^2 en fonction de x^2

Merci de votre aide

[Pseuda]

Bonjour,

Le point M est un point de E, de coordonnées (x ; y) qui vérifient l'équation de l'ellipse.

[lola12968]

Donc un point quelconque
Exprimer y^2 en fonction de x^2 :

Y^2 ÷9 = 1- (x^2 ÷25)
Y^2 = 9 - (1÷25)×9 x^2
Y^2 = 9 - (9/25)x^2

[lola12968]

Mais je ne vois pas comment je peux en déduire que -5<ou = x < ou = 5

[Black Jack]

Mais je ne vois pas comment je peux en déduire que -5<ou = x < ou = 5

Ce ne pourtant pas bien difficile.

x²/25 + y²/9 = 1

x²/25 = 1 - y²/9

Comme y²/9 >= 0 (puisque c'est un carré), on a forcément x²/25 <= 1

--> x² <= 25

x² - 25 <= 0

(x - 5).(x+5) <= 0

Et ceci n'est vrai que si -5 <= x <= 5

[lola12968]

Merci beaucoup
Pour la 2b) nous n'avons pas M
Comment Montrer que MF^2 = ( (4/5)x-5)^2 dans ce cas?

[pascal16]

si M est sur l'ellipse ses coordonnées vérifient : x²/25 = 1 - y²/9 donc y²=9(1-x²/25)
et MF²= (x-4)²+y²
...

[lola12968]

MF^2=(x-4)^2+9(1-x^2/25)
MF^2 = x^2+16-8×+9 - 9/25 x^2
MF^2= x^2(1-9/25) -8x + 25

[pascal16]

(1-9/25), ça fait combien ?

et ( (4/5)x-5)^2, si tu le développes, ça fait combien ?