Topologie - Espaces vectoriels normés

[endomorphisme]

Bonjour à tous,

Je bloque sur le problème suivant :

On considère un espace vectoriel normé V et un ouvert O de V autre que V lui même.
a) Montrer que pour tout a O, l'ensemble des >0 tels que B(a,)O possède un maximum, noté M(a).
b) Montrer que pour a,bO, on a |M(a)-M(b)|||a-b||
c) On se place dans le cas particulier où V=R^infini et où la norme utilisée est la norme infinie. On nomme w_n une suite tendant vers 1 en décroissant strictement et on note P_n le polynôme w_n*X^n, considéré comme un élément de V.
(i) Montrer que le complémentaire O de l'ensemble des P_n dans V est un ouvert.
(ii) Vérifier que dans cet exemple BF(a,M(0)) O
d) On retourne au cas général et on suppose que l'on a, comme dans l'exemple précédent, BF(0,M(0)) O. En considérant une suite x_n de points du complémentaire de O pour lesquels M(0)|x_n|M(0)+1/n, montrer que V n'est pas de dimension finie.

J'ai réussi les questions a) et b) et le c) (i).
Par contre, pour le c) (ii), je ne vois vraiment pas.
Pour la question d), j'arrive à justifier l'existence d'une telle suite (par définition de M(0)), mais je ne vois pas du tout ce que l'on peut en faire...

Voilà, en espérant que certains s'entre vous seront plus inspirés que moi par cet exercice et auront la gentillesse de partager leurs solutions...

[Elias]

Salut,

quelques questions :

- c'est quoi R^infini ?? Ça a l'air d'etre l'ensemble des polynomes à coefficients dans R mais c'est pas clair..
Cet ensemble se note R[X].

On peut aussu croire que c'est l'ensemble des suites de nombres réels mais comme tu dis que P_n est dedans, c'est bizarre...

- c'est quoi du coup la norme sur R[X] que tu mets ? Car norme infinie, c'est pas clair.
Est-ce la norme définie par ||P|| = sup {|a_i|} pour P un polynome s'écrivant P= a0+a1X+...+anX^n ?

Ou alors est ce la somme des coefficients en valeur absolue ?

Ensuite, dans la question c) ii), c'est quoi a ??????


Il serait utile d'être ultra précis si on souhaite obtenir de l'aide en précisant tout.

[aviateur]

Bonjour
Et BF(0,M(0)) qu'est ce que cela veut dire ? "Boule Fermée" ? C'est vrai que c'est indigeste à lire.

[Ben314]

Salut,
A mon avis, le truc noté R^infini, c'est ce qu'on note usuellement avec des parenthèse pour le différentier de et ça correspond à l'ensemble des fonctions de dans à support fini, c'est à dire en fait à la somme directe (et pas au produit) de copies de .
Et c'est effectivement (quasi) la même chose que modulo que sur , la multiplication "canonique", c'est la multiplication terme à terme (mais l'addition terme à terme, c'est bien la même que pour les polynômes)

Sinon, pour la question c)ii), c'est plutôt simple : la distance de 0_V (le neutre de V) à P_n c'est wn qui est >1 et qui tend vers 1 ce qui prouve qu'une boule ouverte de centre 0_V et de rayon epsilon ne contient aucun P_n (donc est contenue dans O) ssi epsilon<=1. Donc M(0_V)=1 et ça montre aussi que la boule fermée de centre 0_V et de rayon 1 ne contient aucun des P_n (donc est contenue dans l'ouvert O).

Et pour la d), à mon avis, ce qu'il faut que tu utilise, c'est le fait que tout e.v. de dim. fini est localement compact, et donc que de toute suite bornée on peut extraire une sous suite convergente : là, si c'était le cas, on pourrait extraire une sous suite de le suite (xn) qui soit convergente vers un certain x qui serait lui aussi dans le complémentaire de O (vu que ce complémentaire est fermé) et ce x serait à une distance M(0_V) de 0_V ce qui contredirait le fait que la boule fermée de centre 0_V et de rayon M(0_V) est entièrement contenue dans l'ouvert O.