Autour d'une equation du troisième degré.

[ordage]

Bonjour
J'ai un problème concret:
Soit a, b, c , (a<b<c) les trois racines réelles (quand elles existent) d'une équation x^3 +px +q.
Peut -on construire une équation de degré 2 (dont les coefficients dépendent de p et q) dont les deux racines sont:
(b-a) et (c-a).
Merci pour toute info utile sur le sujet.

Cordialement

[Ben314]

Salut,
A priori et sans réfléchir, je dirait bien que non du fait que les deux quantités (b-a) et (c-a) ne sont pas symétriques en a,b,c.
Par exemple, si ton polynôme de départ c'est , alors
- Si on dit que a=1, b=2 et c=-3, alors b-a=1 et c-a=-4 donc ton "nouveau" polynôme est (X-1)(X+4)=X²+3X-4
- Si on dit que c=1, a=2 et b=-3, alors b-a=-5 et c-a=-1 donc ton "nouveau" polynôme est (X+5)(X+1)=X²+6X+5
- Si on dit que b=1, c=2 et a=-3, alors b-a=4 et c-a=5 donc ton "nouveau" polynôme est (X-4)(X-5)=X²-9X+20

[chan79]

salut
un peu bizarre cet exo
Si on part de (x-2)(x-3)(x+5)=0 soit x³-19x+30=0
(a,b,c)=(-5,2,3) car il faut a<b<c
b-a=7
c-a=8
d'où le polynôme (x-7)(x-8)

[ordage]

Salut,
A priori et sans réfléchir, je dirait bien que non du fait que les deux quantités (b-a) et (c-a) ne sont pas symétriques en a,b,c.
Par exemple, si ton polynôme de départ c'est , alors
- Si on dit que a=1, b=2 et c=-3, alors b-a=1 et c-a=-4 donc ton "nouveau" polynôme est (X-1)(X+4)=X²+3X-4
- Si on dit que c=1, a=2 et b=-3, alors b-a=-5 et c-a=-1 donc ton "nouveau" polynôme est (X+5)(X+1)=X²+6X+5
- Si on dit que b=1, c=2 et a=-3, alors b-a=4 et c-a=5 donc ton "nouveau" polynôme est (X-4)(X-5)=X²-9X+20

Merci
Effectivement l'argument me parait convaincant. J'avais essayé sans succès en écrivant l'équation et en utilisant les relations entre les racines et les coefficients de l'équation de de degré 3, mais les coefficients de l'équation du second degré sont des fonctions de p, q mais aussi de a..
Cordialement

[yavlory]

Bonjour

Soit a, b, c , (a<b<c) les trois racines réelles (quand elles existent) d'une équation x^3 +px +q.
Peut -on construire une équation de degré 2 (dont les coefficients dépendent de p et q) dont les deux racines sont:
(b-a) et (c-a).

la réponse est clairement non* à cause de l'expression des trois racines avec l'angle géométrique
si possède trois racines réelles distinctes deux à deux
alors obligatoirement







* c'est aussi à cause de cela que l'angle de 20° n'est pas constructible à la règle et au compas

[Black Jack]

x³ + py + q = 0

si
Il y a 3 racines réelles qui sont données par :





Je ne sais pas trop comment déterminer la plus petite de ces racines, supposons que c'est R1 (à revoir évidemment si c'est une des 2 autres la plus petite)

L'équation (x - (R2 - R1)) * (x - (R3 - R1)) = 0 a bien des coefficients qui ne dépendent que de p et de q et ses racines sont celles demandées.

Evidemment les coefficient contiennent des cos ... mais il me semble que rien ne s'y oppose dans l'énoncé.

Me plante-je ?

[yavlory]

...je l'ai donné (juste avant ton message)...

sinon à part ça dans l'exemple de Chan

Si on part de (x-2)(x-3)(x+5)=0 soit x³-19x+30=0
(a,b,c)=(-5,2,3) car il faut a<b<c
b-a=7
c-a=8
d'où le polynôme (x-7)(x-8)

les racines de (x-7)(x-8) donc 7 et 8
ne dépendent pas de p=-19 et q=30 mais de -15 et 56

[Archytas]

les racines de (x-7)(x-8) donc 7 et 8
ne dépendent pas de p=-19 et q=30 mais de -15 et 56

Cela dit -15 et 56 dépendent de -19 et 30 qui eux mêmes dépendent de (comme tous les nombres lorsque la date commence par un chiffre pair).

Plus sérieusement je ne comprends pas très bien les messages que tu postes, tu pourrais réexpliquer ?

[yavlory]

expliquer quoi?

que les racines de (x-7)(x-8) dépendent des coefficients de ?

la relation entre coefficients et racines?

[chan79]

x³ + py + q = 0

si
Il y a 3 racines réelles qui sont données par :





Je ne sais pas trop comment déterminer la plus petite de ces racines, supposons que c'est R1 (à revoir évidemment si c'est une des 2 autres la plus petite)

L'équation (x - (R2 - R1)) * (x - (R3 - R1)) = 0 a bien des coefficients qui ne dépendent que de p et de q et ses racines sont celles demandées.

Evidemment les coefficient contiennent des cos ... mais il me semble que rien ne s'y oppose dans l'énoncé.

Me plante-je ?

Tout ça me va bien.
Je me demande si R2 n'est pas toujours le plus petit.

[Pseuda]

Bonjour,

J'ai comme l'impression que les différents intervenants ne comprennent pas l'énoncé de la même façon, entre ceux qui disent non et ceux qui disent oui.

Pour ma part, je le comprends comme Black Jack et chan79, a, b et c dépendent de p et q, l'équation du 2nd degré est entièrement déterminée par p et q (dès lors que a<b<c), donc ses coefficients qui dépendent de a, b et c, dépendent uniquement de p et q.

Je ne vois pas d'aléa dans la procédure. Evidemment l'éq. du 2nd degré n'est pas facile à construire.

[ordage]

Merci pour toutes ces contributions qui m'ont convaincu que cela n'était pas possible, ce que supputais mais que je n'avais pas démontré.
Le problème posé n'est un exercice mais correspond à la solution d'un problème physique (avance du périhélie des orbites de planètes autour d'une étoile en relativité générale) . La condition d'extremum de l'orbite (une géodésique de la géométrie pseudo-riemanienne de la relativité générale) invoque une équation du troisième degré. On s'intéresse au cas où les 3 racines a, b, c a<b<c sont réelles.

La solution donnant l'avance du périhélie est donnée par:



Une question subsidiaire demeure:

Formellement , quelles propriétés particulières peut-on tirer de ce qui ressemble à une "brisure de symétrie" . On a l'impression qu'on n'a que deux paramètres (b-a) et (c-a) dans la solution, mais on voit qu'on ne peut pas construire une équation du deuxième degré avec p et q qui aurait ces solutions.

C'est le phénomène physique qui est comme cela, quelle interprétation mathématique donner, à supposer que cette question soit pertinente.
Cordialement

[Elias]

Bonjour,

J'ai comme l'impression que les différents intervenants ne comprennent pas l'énoncé de la même façon, entre ceux qui disent non et ceux qui disent oui.

Pour ma part, je le comprends comme Black Jack et chan79, a, b et c dépendent de p et q, l'équation du 2nd degré est entièrement déterminée par p et q (dès lors que a<b<c), donc ses coefficients qui dépendent de a, b et c, dépendent uniquement de p et q.

Je ne vois pas d'aléa dans la procédure. Evidemment l'éq. du 2nd degré n'est pas facile à construire.

Je suis tout à fait d'accord.
Ou alors il faut expliquer clairement ce que ça veut dire "dépendre de p et q"..

D'ailleurs, je ne vois même pas pourquoi expliciter les racines en fonction de p et q, il suffit de dire que le polynome (X - (b- a)) * (X - (c- a)) convient et basta ??
L es coefficients a,b,c dépendent bien sûr de p et q ?? Comment pourrait -il en être autrement puisque ce sont les solutions de x^3+px+q=0.


Ou alors, la question est: donner une expression générale explicite d'un tel polynôme du second degré ?
Mais alors, il faut être plus précis dans la question
...

[Pseuda]

Oui @Trident2,

Si on explicite : les 3 solutions réelles sont fonction de p et q : u(p,q), v(p,q), w(p,q). On a alors : a=min(u(pq), v(p,q), w(p,q)), c=max(u(pq), v(p,q), w(p,q)), b=u(p,q) + v(p,q) + w(p,q)-a-c.

L'équation s'écrit alors : X^2 - ((b-a)+(c-a)) X + (b-a)(c-a) = X^2 - f(p,q) X + g(p,q). Je ne vois pas quelle autre interprétation à l'énoncé on peut donner ?

[Black Jack]

Salut,

x³ + py + q = 0

si
Il y a 3 racines réelles qui sont données par :





Je ne sais pas trop comment déterminer la plus petite de ces racines, supposons que c'est R1 (à revoir évidemment si c'est une des 2 autres la plus petite)

L'équation (x - (R2 - R1)) * (x - (R3 - R1)) = 0 a bien des coefficients qui ne dépendent que de p et de q et ses racines sont celles demandées.

Evidemment les coefficient contiennent des cos ... mais il me semble que rien ne s'y oppose dans l'énoncé.

Me plante-je ?

Tout ça me va bien.
Je me demande si R2 n'est pas toujours le plus petit.

Tu as raison, c'est R2 qui est le plus petit dans tous les cas.

Et donc c'est l'équation : (x - (R1 - R2)) * (x - (R3 - R2)) = 0 qui répond à l'énoncé initial.

avec :

[ordage]

Salut,

x³ + py + q = 0

si
Il y a 3 racines réelles qui sont données par :





Je ne sais pas trop comment déterminer la plus petite de ces racines, supposons que c'est R1 (à revoir évidemment si c'est une des 2 autres la plus petite)

L'équation (x - (R2 - R1)) * (x - (R3 - R1)) = 0 a bien des coefficients qui ne dépendent que de p et de q et ses racines sont celles demandées.

Evidemment les coefficient contiennent des cos ... mais il me semble que rien ne s'y oppose dans l'énoncé.

Me plante-je ?

Tout ça me va bien.
Je me demande si R2 n'est pas toujours le plus petit.

Tu as raison, c'est R2 qui est le plus petit dans tous les cas.

Et donc c'est l'équation : (x - (R1 - R2)) * (x - (R3 - R2)) = 0 qui répond à l'énoncé initial.

avec :

Bonjour

Merci.
Effectivement, cela répond à la question. J'avais cherché une solution formelle entre les racines a, b, c sans utiliser leur expression en fonction de p et q, mais ce n'était pas la bonne méthode.
Dans le cas de l'équation en question comme on peut avoir:

on peut avoir trois racines réelles.
Je vais étudier si et comment utiliser cela dans mon problème.
Cordialement