Inégalité de jensen

[houssamhoussni]

salut,
soit a,b,c 3 réels strictement positifs,
montrer en utilisant l'inégalité de jensen que:
3/2<a/(b+c) + b/(a+c) + c/(b+a)
merci d'avance!

[aviateur]

Bonjour
C'est un peu alambiqué mais puisque tu veux du Jensen:
1. D'abord on peut supposer que s=a+b+c=1 vu l'homogénéité
2. Par Jensen appliqué à f:
on a
dc
3. On a
On a donc
4. Par Jensen appliqué à la fonction on a

[Ben314]

Salut,
Il me semble qu'une fois qu'on a dit qu'on pouvait supposer que a+b+c=1 donc que
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=a/(1-a)+b/(1-b)+c/(1-c)=f(a)+f(b)+f(c) où f(x)=x/(1-x) pour x dans ]0,1[
alors on peut directement appliquer l'inégalité de convexité à la fonction f, non ?

[aviateur]

Oui @ben c'est vrai x/(1-x) est convexe et c'est direct.

[houssamhoussni]

Bonjour
C'est un peu alambiqué mais puisque tu veux du Jensen:
1. D'abord on peut supposer que s=a+b+c=1 vu l'homogénéité
2. Par Jensen appliqué à f:
on a
dc
3. On a
On a donc
4. Par Jensen appliqué à la fonction on a

je ne comprends pas pk on peut suposer que a+b+c=1

[Elias]

Salut,

Soient a,b,c trois réels strictement positifs.
Si on note P(a,b,c) le nombre a/(b+c) + b/(a+c) + c/(b+a), alors il faut montrer que :
3/2 < P(a,b,c).
Tu remarqueras facilement que pour tout nombre k strictement positif, on a : P(ka,kb,kc)=P(a,b,c). (*)

Maintenant, supposons que l'inégalité soit montrée pour tous les réels a,b,c strictement positifs vérifiant a+b+c=1 (**)

Si tu prends trois autres réels strictement positifs a',b',c' vérifiant a'+b'+c'=k où k est un réel strictement positif (non nécessairement égal à 1), et bien tu peux dire que :

a'/k+ b'/k+c'/k = 1 donc l'inégalité 3/2 < P(a'/k, b'/k, c'/k) est vérifiée (d'après (**)).
Or, P(a'/k,b'/k,c'/k) = P(a',b',c') d'après (*) donc l'inégalité 3/2 < P(a',b',c') est démontrée.

[aviateur]

Oui c'est ça trident a bien expliqué.