Arithmétique et fonction de Moebius

[MoonX]

Bonjour

Voici un exercice sur lequel je bloque :
Soit n un entier naturel non nul.
Soient l'ensemble des nombres premiers avec n inférieur ou égal à net la fonction de Moebius, définie par si p1,...,pk sont k nombres premiers distincts, sinon. On note .

Montrez que :
pour tout k dans N,


Indications : on pourra regarder le coefficient de a^k, pour a dans [|1;n|] fixé.

J'ai de plus montré que si , =1 si n = 1.

Je vois bien comment faire pour le membre de gauche : si a est premier avec n, le coefficient c'est 1, 0 sinon. Mais pour le membre de droite... Je n'en ai aucune idée.

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
Avant de commencer à réfléchir au problème, j'ai un peu du mal à capter le bidule :

Soient l'ensemble des nombres premiers avec n

Donc, pour faire dans le "simple", par exemple c'est l'ensemble des nombres impairs.

On note .

????

[Elias]

Salut,

Je pense que An doit etre l'ensemble des nombres entiers compris (au sens large) entre 1 et n qui sont premiers avec n.

Par contre, c'est quoi ce que tu appelles le coefficient de a^k ? Je comprends pas.... C'est mu(a^k)?

[Ben314]

Sinon, ta somme ,
on peut l'écrire
Ensuite, les qui apparaissent dans cette somme sont évidement des entiers entre et (compris) et le but du jeu, c'est de voir pour un entier entre et fixé, combien de fois il va apparaître dans la somme sous la forme et avec quelle valeurs pour .

P.S. (pour trident) : le "coeff de a" c'est justement la somme des mu(d) prise sur tout les couples (lambda,d) tels que a=lambda.d

P.S.2 : j'avais évidement compris que le An c'était ça, mais il faut quand même faire prendre conscience au posteur que, rédigé comme ça, l'énoncé est complètement stupide (i.e. que d'écrire ça, c'est la meilleure des façon de passer auprès du correcteur pour un décérébré complet qui comprend même pas le sens de ce qu'il écrit)

[MoonX]

Merci pour vos réponses.

Je vous pris de m'excusez pour cet oubli, je n'avais pas bien fais attention.

En utilisant la forme : , j'en déduit que pour qu'on ait une chance de vois, a^k il faut que d|a. Or, si d divise a tout en divisant n, d divise . De plus, a^k apparaît une et une seule fois pour chaque d qui divise q. Le coefficient en a^k est donc : , qui vaut 0 si . On retrouve bien la même description du coefficient en a^k pour chaque côté de l'égalité.

Je crois que c'est bon.

Merci encore pour votre aide.