Groupe des inversibles

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ludo60
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Groupe des inversibles

par ludo60 » 21 Jan 2018, 13:57

Bonjour, au milieu d'un exercice concernant la fonction indicatrice d'Euler, je dois prouver que les groupes des inversibles et sont isomorphes (p et q premiers entre eux)

Je sais qu'il existe un un isomorphisme d'après le théorème chinois.

Après, je ne sais pas trop comment procéder. Merci pour votre aide



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Ben314
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Re: Groupe des inversibles

par Ben314 » 21 Jan 2018, 14:33

Salut,
ludo60 a écrit:Je sais qu'il existe un un isomorphisme d'après le théorème chinois.
Un isomorphisme de quoi ?
- Si c'est un isomorphisme de groupes additif, ben ça te sert à rien vu que tu cherche des trucs multiplicatifs.
- Si c'est un isomorphisme d'anneau, ben c'est fini vu que le produit dans les deux groupes, c'est "le même" donc les inversibles c'est "les mêmes" (à l'isomorphisme près bien sûr) donc ton isomorphisme d'anneau, si tu le restreint aux groupe inversibles, ben ça fait un isomorphisme entre les deux groupes d'inversibles.
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ludo60
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Re: Groupe des inversibles

par ludo60 » 21 Jan 2018, 15:02

Merci. Donc, les inversibles se correspondent... Ce n'est pas très clair pour moi mais je vais essayer de l'écrire.

Elias
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Re: Groupe des inversibles

par Elias » 21 Jan 2018, 19:20

Si tu prends deux anneaux A,B isomorphes et f: A -> B un isomorphisme d'anneaux.

Si tu considères A* et B* le groupe des inversibles de A et B.

Et si tu regardes f: A* -> B*, il faut montrer que c'est un isomorphisme de groupes entre A* et B*.

1] La loi de groupe sur A* et B* est héritée de la loi multiplicative qui font de A et B des anneaux donc le coté morphisme de groupe ne vas pas trop te poser de problème

2] Après, c'est peut être la surjectivité que tu as du mal à voir ?
Si tu prends y dans B*, il existe bien sûr un x dans A tel que f(x)=y (f: A ->B étant bijective).
Mais en fait x est inversible car :
si on prend y^(-1) (l'inverse de y dans B*), il existe un x' dans A tel que f(x')= y^(-1) et donc :

f ( x x') = f(x) f(x') = y y ^(-1) = 1_B (où 1_B est l'unité dans l'anneau B)

Mais comme f ( 1_A) = 1_B, par injectivité, il vient x x ' = 1_A donc x est inversible.

Ainsi, partant de y dans B*, on a trouvé x dans A* tel que y = f (x).
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ludo60
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Re: Groupe des inversibles

par ludo60 » 23 Jan 2018, 08:17

Désolé, je viens juste de voir le dernier message... J'ai essayé de l'écrire en détail et, effectivement,seule la surjectivité m' a posé des problèmes. C'est très clair à présent, merci à vous deux.

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Ben314
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Re: Groupe des inversibles

par Ben314 » 23 Jan 2018, 15:16

Normalement, si tu réfléchit un peu, tu as pas à démontrer "la surjectivité" de quoi que ce soit :
1) Si f est un morphisme d'anneau (unitaires) de A dans B et que x de A est inversible alors f(x) de B est inversible [d'inverse f(x^-1)] car f(x).f(x^-1)=f(x.x^-1)=f(1_A)=1_B.
Donc l'image par f des inversibles de A est contenu dans l'ensemble des inversibles de B.
2) Sauf que, si f est un isomorphisme alors f^-1 est aussi un morphisme d'anneau et, en vertu du point précédent, l'image par f^-1 des inversibles de B est contenu dans l'ensemble des inversible de A ce qui prouve que l'image des inversibles de A est bien égal à l'ensemble des inversibles de B.

Bref, une fois le point 1) établi (et valable pour tout morphisme), ben y'a pas de calculs supplémentaires à faire.
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Elias
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Re: Groupe des inversibles

par Elias » 23 Jan 2018, 15:27

Ben314 a écrit:Normalement, si tu réfléchit un peu, tu as pas à démontrer "la surjectivité" de quoi que ce soit:


Ça revient plus ou moins au même (parce que de toute façon, au moment où faut montrer que f^(-1) est un morphisme -bien que ça soit simple- faudra parler un peu de surjectivité)
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

 

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