Système 2 equations 2 inconnues

[kerst]

Bonjour, je dois répondre par vrai ou faux et justifier les affirmations suivantes :

On considère un système S de 2 inconnues et 2 équations.
1) L'ensemble des solutions est soit un point soit une droite de R2
2) Il est possible que l'ensemble des solutions de S soit un cercle de rayon positif
3) si le système homogène associé à S a une unique solution alors S a une unique solution
4) si l'ensemble des solution contient une droite de R2 et un point en dehors de cette droite alors l'ensemble des solutions est R2

1) faux car il peut aussi n'y avoir aucune solution ou une infinité de solutions sans que ce soit une droite
2) faux mais je ne sais pas justifier
3) je ne sais pas
4) je dirais vrai mais je ne vois pas dans quel cas on aurait ça ?

[pascal16]

heu, je vais être tatillon, on est bien dans le cas d'équation linéaires à coefficient réels dont on cherche une solution réelle ?

car avec des complexe avec des équations non linéaires, on peut faire des cercles.

[kerst]

oui pardon c'est linéaire et coefficients rééls

[Elias]

Salut,

On est donc d'accord que ce sont les systemes de la forme ax+by= c et a'x+b'y=c' avec a,b,c a',b',c' réels.


Ok pour la 1.
Ensuite,l'ensemble des solutions est un sous espace affine de R^2 (cours ou alors tu peux le redémontrer facilement).
Cela devrait déjà te permettre de justifier la 2.

Pour la 3, saches simplement qu'un systeme homogène a toujours au moins une solution: (0,0). Cela devrait te permettre de conclure.

Pour la 4, comme l'ensemble est un sous espace affine de R2, montre que le seul sous-espace affine de R2 contenant une droite et un point qui n'est pas dans cette droite est R2. Tu peux raisonner avec sa dimension.

[pascal16]

2) Il est possible que l'ensemble des solutions de S soit un cercle de rayon positif
tatillon bis : vu qu'un point est un cercle de rayon nul, il vaut voir...

[Archytas]

car avec des complexe avec des équations non linéaires, on peut faire des cercles.

Peux-tu développer ? Je ne comprends pas ce que tu veux dire ?

Pour rebondir sur ce que dit trident pour la 2) lorsque l'ensemble des solutions n'est pas un point ou vide, il contient une droite.
Pour la 3) si
ax+by=0
cx+dy=0
a une unique solution que peux tu dire de la matrice
a b
c d
?
Bon courage.

[kerst]

Donc si je résume :
2) Faux car l'ensemble des solutions est soit vide, soit un point, soit une droite, soit R2 tout entier
3) Si le systeme homogene n'a qu'une solution ça veut dire que ab'-a'b est différent de 0 non ? et que par conséquent le système (non homogène) associé a aussi une unique solution ?
4) vrai d'après ce qu'on a dit à la 2

[pascal16]

pour moi c'est bon

[PS] équations non linéaires :
x²+y²=1 est un cercle (non linéaire)
z*(z barre)=1 est un cercle (non linéaire)
(donc un système peut être l’intersection de cercles, hyperboles, droites, surface courbes, courbes...

en complexe z1 + z2 = 1 est linéaire, et revient à un système 2x2 en réel

[Pseuda]

Bonjour,

Le système S peut s'écrire AX=B, avec A matrice 2x2, X matrice des inconnus 2x1, et B second membre. Le nombre de solutions du système dépend de A. Si A est inversible, une seule solution X=A^(-1)*B (solution du système homogène : X=0). Sinon, si rang A = 0 ou 1, cela dépend de B (aucune ou une infinité de solutions (droite ou R^2 tout entier) selon que B appartient ou non à Im (A)).

Un cercle est tjs de rayon positif ; s'il est nul, je dirais que c'est un point.

[Archytas]

La définition d'un cercle continue de fonctionner pour un rayon nul donc techniquement ça marche. Je pense que le fait de préciser "positif" sous entendait "strictement positif" parce que sinon ça n'a aucun intérêt de le préciser ; les cercles de rayons strictement négatif ça court pas les rues.

pour moi c'est bon

[PS] équations non linéaires :
x²+y²=1 est un cercle (non linéaire)
z*(z barre)=1 est un cercle (non linéaire)
(donc un système peut être l’intersection de cercles, hyperboles, droites, surface courbes, courbes...

en complexe z1 + z2 = 1 est linéaire, et revient à un système 2x2 en réel

Oui et il faut aussi faire attention aux systèmes d'équations de la forme