Fonction avec a et b

[Leperou]

Bonsoir j'ai un petit exercice à résoudre, une aide serait la bienvenue (je n'arrive pas à commencer )
Intitulé :
Soit une fonction f définie sur ]0;+infini [ tel que pour tous réels a et b strictement positifs on ait
f (a×b)=f (a)+f (b)

Q1 : démontrer que f (1)=0
Q2 : Soit un réel a>0 . Démontrer que f (1/a) = -f (a)
Q3 : en déduire que pour tous réels a et b strictement positifs, f (a/b) = f (a) -f (b)

[Paljasn]

Bonsoir,

Cet énoncé me semble étrange...
Si f(1) = 0, alors pour n'importe quel réel a, on aurait f(a) = f(a x 1) = f(a)f(1) = 0
Par ailleurs, la fonction identité ( g(x) = x pour tout réel x) respecte bien ces conditions, et g(1) ne vaut pas 0

Je pense que la première question devrait plutôt être de montrer que f(1) = 0 ou f(1) = 1, cela me semblerait plus juste. Et encore, la suite de l'énoncé ne ferait alors aucun sens...

[Leperou]

Pourtant il est ainsi donc bon ...

[Paljasn]

Ah, je reviens sur ce que j'ai dit après avoir peut-être identifié le type de fonction à regarder.

Es-tu certain(e) de f(a x b) = f(a) x f(b) ? Ne serait-ce pas plutôt f(a x b) = f(a) + f(b) ?

Dans ce cas, tout le reste de l'énoncé est plus logique. Je pense que, dans le cas contraire, c'est une erreur de typo de l'énoncé.

Bref, partant de là, pour répondre à la question, il te suffit de prendre un cas particulier de l'égalité :
f(a x b) = f(a) + f(b)

En prenant des valeurs bien précises pour a et pour b, comment aboutir facilement à la valeur de f(1) ?

[Leperou]

Oups je m'en excuse, c'est bien f (a×b) = f (a)+f (b)

[Leperou]

Euh je ne vois pas ce que vous voulez dire

[Paljasn]

On a, pour tous a et b réels :
f(a x b) = f(a) + f(b)

Puisque cela vaut pour n'importe quel réel, je peux en prendre certains particuliers. En prenant a = 2 et b = 3 par exemple, j'obtiens
f(6) = f(2) + f(3)

Bon, ce cas n'aide pas beaucoup, c'est vrai.
Cela dit, en prenant des valeurs un peu plus intelligentes pour a et b, tu pourras répondre à la première question.

Pour la deuxième question, il faudra encore choisir intelligemment les valeurs de a et de b, et se servir de la réponse à la question 1.

[siger]

bonjour

1- l'equation f(a*b) = f(a)+f(b) n'est verifiée pour a=b=1 que si .....
2- f(1/a)+f(a) = f(1/a*a) = ......
3- .....

[Black Jack]

f(a×b) = f(a)+f(b)

avec a = b = 1 --> f(1) = 2.f(1)
Et donc f(1) = 0
*****
f(a×b) = f(a)+f(b)

Avec b = 1/a -->

f(1) = f(a) + f(1/a)
et comme f(1) = 0, f(a) + f(1/a) = 0
f(1/a) = -f(a)
*****
f(a/b) = f(a * 1/b) = f(a) + f(1/b) = f(a) - f(b)

[WillyCagnes]

bjr
en cours tu verras la fonction logarithmique
log(a*b)=log(a) +log(b)
log(a/b)=log(a) -log(b)
log(1)=0

[Leperou]

A la suite de ces 3 questions, mon prof nous en a donné qui suivent :

4) Soit un réel > 0 . Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, f (a^n) = nf(a)
Cette relation est elle encore vraie si n est un entier négatif ?

5) Démontrer enfin que pour tout a appartenant à ]0;+infini [ , f (racine de a ) = (1/2)*f (a)

Pour la 4 je pense qu'il y a un lien avec la Q3 , mais pour là 5 jsp quoi faire ...

[Black Jack]

5)

f(a x b) = f(a) + f(b)
avec b = 1/Va --> f(Va) = f(a) + f(1/Va) = f(a) - f(Va)
f(Va) = f(a) - f(Va)
2.f(Va) = f(a)
f(Va) = 1/2 * f(a)

[Leperou]

Black jack t'es un génie merci pour la 5

Pour la 4 chui bloqué, des idées de résolutions ?

[Black Jack]

4)

f(a x b) = f(a) + f(b)
Avec b = a --> f(a²) = f(a) + f(a)
f(a²) = 2.f(a)

f(a x b) = f(a) + f(b)
avec b = a² --> f(a³) = f(a) + f(a²) = f(a) + 2.f(a) = 3.f(a)

et ainsi de proche en proche, f(a^n) = n.f(a) (pour n entier >= 1)
****
f(a x b) = f(a) + f(b)
avec b = 1/a² --> f(1/a) = f(a) + f(1/a²) = f(a) - f(a²) = f(a) - 2f(a) = -f(a)
et donc f(a^-1) = -f(a)

f(a x b) = f(a) + f(b)
avec b = 1/a³ --> f(1/a²) = f(a^-2) = f(a) + f(1/a³) = f(a) - f(a³) = f(a) - 3.f(a) = -2.f(a)
et donc f(a^-2) = -2.f(a)

continue ...