Factorielle et carré parfait

[Viko]

Bonjour,

On pose , soit tq soit un carré parfait, quel est la valeur de i ?

Bonne chance !

[chan79]

P=20*19!*19!*18*17!*17!*16*15!*15!*...*4*3!*3!*2
P est égal à un produit de carrés multiplié par 20*18*16*...*2=10!*2^10=10!*(2^5)^2
P/10! est donc un carré
c'est le carré de (19!*17!*15!* ...*3!*32)

[nodgim]

@ Chan79 : Très bien, mais il me semble qu'il faut prolonger un peu avant de conclure à l'unicité de la solution.

[chan79]

salut nodgim
Effectivement, on voit facilement que P/10! est un carré. Je n'ai pas dit que c'était la seule solution. Je vais y regarder.
A noter que si on remplace 20 par 24 par exemple, ça marche de la même façon. On pourrait chercher à généraliser...

[Ben314]

Salut,
Concernant la question de l'unicité (et quelque soit la valeur de départ : 20 ou autre chose), la question est de savoir si, une fois qu'on sait que P/a! est un carré (d'entier), est-il possible qu'un autre P/b! soit lui aussi un carré (d'entier).
Et comme on passe de l'un à l'autre en multipliant par a!/b!, ca revient à se poser la question de savoir si a!/b! est le carré d'un rationnel. Et comme le problème est symétrique en a<->b, on peut supposer que a>b.
Là où on voit qu'il y a au moins une solution, c'est si a=b+1 et que a est un carré vu que a!/b!=a (mais ça marche pas avec a=10 qui n'est pas un carré, ni avec b=10 qui donne a=11 qui n'est pas un carré non plus).
Dans le cas où P=1!x2!x3!x...x20!, on a vite fait (par exemple avec un tableur) d'obtenir les reste modulo 2 des valuations p-adique de n! pour n de 1 à 20 (et p premier de 2 à 19) et on constate que 10! est la seule solution du problème.
Mais je ne sais pas si on peut avoir une solution théorique générale concernant les couples (a,b) tels que a!/b! est un carré...

[chan79]

En regardant les décompositions en facteurs premiers, on voit que la factorielle par laquelle on veut diviser ne doit contenir aucun des nombres 11,13, 17 et 19 mais doit contenir 7.
Seules possibilités: 10! , 9! , 8! et 7!
Seul 10! convient


Sinon, en posant : , on peut vérifier que est un carré

[nodgim]

Oui Chan79, j'avais vu aussi cette règle générale.

[chan79]

Si P= alors P/8! est un carré mais aussi P/9!

Si P= alors P/ 7! est un carré

[nodgim]

Étonnant ces 2 solutions pour le 16.

ça mérite de s'y intéresser de plus près. Je le mets dans ma pile avec cette question : Dans quelle condition le produit de 1! 2! ... k ! est il un carré quand on ôte (ou pas) un des facteurs ?

[chan79]

on pose


on peut vérifier ceci:

Si (2n+1) est un carré, et sont des carrés

voir avec n=12

[nodgim]

Oui, c'est évident maintenant.

On a aussi, lié aux carrés, cette relation :

Si 4n est un carré, P(4n) /(2n)! est carré mais aussi P(4n-2)/(2n)!

En dehors de ces règles, on peut noter que P(18) / 7! est un carré.

Sinon, je n'ai trouvé aucun carré impair dans les 77 premiers P(n).

[nodgim]

J'ai, sinon une preuve formelle, mais pour le moins une bonne explication, de l'absence de solution pour les P(n) avec n impair. Je la rédige au propre dès que possible.

[nodgim]

Voici donc ce qu'on peut résumer sur ce problème :

Reprenons la méthode de Chan79 en la généralisant pour tout n.

P(n) = n! * (n-1)! * (n-2)! *....= n * (n-2) * (n-4) ....a² ( en groupant les facteurs voisins 2 à 2 ) .

Dans le cas où n est pair :

P(n) = 2 ^ (n/2) * (n/2) ! * a² = (n/2) ! * b² si n/2 pair. De plus si (n/2) est un carré : = ( n - 1) ! * b' ² -----> 2 solutions.

Si (n/2) carré impair et (n-1) / 2 double d'un carré (voir équation diophantienne u² - 2v² = 1) alors P(n) = 2 ^ ((n+1)/2) * ((n-2) / 2) ! * b' ² = ((n-2)/2) ! * c².
Idem si (n/2) carré impair et (n+1)/2 double d'un carré.

Dans le cas où n est impair :
P(n) = n! * (n-1)! * (n-2)! *....= n * (n-2) * (n-4) ....a²

Tous les facteurs avant a² sont impairs. Il faut supposer trouver une factorielle dont tous les facteurs premiers sont présents un nombre impair de fois . Or, si on peut en trouver si n petit,ce n'est plus possible à partir d'un certain rang. Car dans n!, si les facteurs premiers > n / 2 sont présents 1 fois, les facteurs premiers n / 3 < p < n / 2 sont présents 2 fois. On peut utiliser le théorème de Rosser : si pk est le kième nombre premier, alors k ( lnk + ln(lnk) -10) < pk < k (lnk + ln(lnk) + 8) qui nous dit que à partir d'un certain rang le rapport entre 2 nombres premiers consécutifs est < 3/2. Ce théorème laisse toutefois une incertitude pour des nombres < 10 ^ 13 environ mais au vu de la répartition, on peut être confiant sans avoir à vérifier jusqu'à cette valeur. Entre l'absence de solutions vérifées pour des nombres petits, et le théorème de répartition, on peut avancer qu'il n'y a donc pas de solution pour n impair.

[Ben314]

P(n) = n! * (n-1)! * (n-2)! *....= n * (n-2) * (n-4) ....a²
Tous les facteurs avant a² sont impairs. Il faut supposer trouver une factorielle dont tous les facteurs premiers sont présents une fois et une seule....

Ca me semble passablement faux vu que :
- Le produit n*(n-2)*(n-4)*... n'est évidement pas uniquement constitué de nombres premiers distincts : dans 15x13x11x9x7x5x3x1 le facteur premier 5 apparait avec un exposant 2 (=pair).
- Même si c'était le cas (avec des nombres premiers distincts), pour qu'en divisant par "un truc" ça devienne un carré, il ne faudrait pas forcément que le "truc" contiennent tout les nombre premiers en question à une puissance 1, mais qu'il contiennent tout ces nombres premiers à une puissance impaire.

[nodgim]

Il faut lire la suite de mon idée, Ben.

[chan79]

un petit bilan pour les couples solutions (n,i) donc tels que P(n)/i! est un carré avec n<100
Il y a les 25 couples (4k,2k) soit (0,0), (4,2), (8,4), ... ,(96,48)

Egalement (16,9), (48,25),(96,49) de la forme (4n,2n+1) avec 2n+1 carré
(voir mon message du 16/01 de 8:37)

Egalement (2,2), (14,8), (34,18), (62,32), (98,50) de la forme (4n-2, 2n) si 4n est un carré
(voir message de nodgim du 16/01 de 16:12)

Il y a aussi: (1,0), (1,1), (8,3), (14,9), (18,7), (32,15), (72,35)

donc en tout 40

Rien avec n impair

[nodgim]

D'accord. A noter que les 7 derniers ( 4 ème lot ) sont également justifiés.

[chan79]

une autre suite de solutions: (8k²,4k²-1)

Avec k=1, 2, 3 cela donne (8,3), (32,15), (72,35)

[nodgim]

Oui, mais ce n'est pas une autre suite de solutions, c'est une autre forme d'écriture.
Je crois qu'on a fait le tour complet du sujet, non ?

[chan79]

Oui, mais ce n'est pas une autre suite de solutions, c'est une autre forme d'écriture.
Je crois qu'on a fait le tour complet du sujet, non ?

oui, je crois qu'on a fait le tour. Merci d'avoir cogité.