LES GROUPES (ALGÈBRE)

[MugiMoad]

Salut tlm et re ! je veux savoir est ce que (R²,+) est un groupe (sans le démontrer) c-à-d qu'on peut l'utiliser comme groupe pour démontrer que par exemple (A²,+) est un sous groupe de (R²,+) avec AcR
Et est-ce-que l'anneau (R²,+,x) l'est aussi ?
Merci,

[Archytas]

Salut.
Oui, (R²,+) est bien un groupe tu devrais pouvoir t'en convaincre en quelques coups de crayon. Qui est A² ?
Et si (R²,+,x) est un anneau bin ça dépend de ce que tu appelles 'x'. Si u et v sont des vecteurs de R², uxv n'a pas tellement de sens en général. Cependant on identifie souvent R² à C dans ce cas c'est même mieux qu'un anneau ; on a un corps.
Ciao.

[pascal16]

(R²,+) ne peut être un groupe qu'après avoir défini ce qu'est la loi +.
une loi notée ⊕ dans R² n'est pas forcément, dans le cas général, compatible avec la loi + de R.

[Ben314]

Salut,
Vu que (R,+,x) (avec les lois usuelles) est un anneau (et même un corps), lorsqu'aucun contexte particulier n'est précisé (R^2,+,x) désigne l'anneau produit (produit de l'anneau R avec lui même) c'est à dire que, par définition, les addition et les multiplications se font "terme à terme".
De façon plus générale, si A et B sont deux anneaux, l'adition et la multiplication "terme à terme" permettent de munir l'ensemble produit AxB d'une structure d'anneau. Par contre, le problème, c'est que c'est systématiquement un anneau non intègre donc pas forcément très intéressant (sous certains points de vue).
Evidement, on peut généraliser ça en parlant de l'anneau A^n voire même plus généralement de A^X où X est un ensemble absolument quelconque (i.e. sans aucune structure).
Par exemple, le fait que R est un anneau muni naturellement l'ensemble R^X des fonctions de X dans R d'une structure d'anneau bien connue : tout le monde sait faire la somme et le produit de deux fonctions de X dans R qui s'effectuent bien "terme à terme" : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (fxg)(x)=f(x)xg(x) (et dans ce cas, tout le monde est habitué au fait que l'anneau est non intègre : si le produit de deux fonction à valeur réelles est nulle, ça ne prouve pas que l'une des deux est nulle)

[Archytas]

(R²,+) ne peut être un groupe qu'après avoir défini ce qu'est la loi +.
une loi notée ⊕ dans R² n'est pas forcément, dans le cas général, compatible avec la loi + de R.

En général il n'y a pas d'ambiguïté pour le '+' de R² contrairement à 'x'. Quelle est cette loi sur R² ? Je ne la connais pas et qu'entends-tu par "compatible avec la loi + de R" ?

[pascal16]

La réponse de Ben est plus pertinente et complète que la mienne, quand je vois 'sans le démontrer' dans le forum 'supérieur', j'ai les doigts qui se crispent un peu sur le clavier.
Il faut prendre les bonne habitudes.