Géométrie et nombres complexes

[Vanilla]

Bonsoir je suis Vanilla et j'ai 16 ans, je suis en terminale scientifique et je vous sollicite afin de m'aider.

J'ai un exercice à effectuer pour Vendredi en guise d'entraînement pour un futur contrôle. 

Voici l'énoncé : 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ;  ;  ) (  il y a des flèches sur le u et le v ).  On considère deux points distincts A et C d'affixes respectives a et c.  On suppose que les points O, A et C ne sont pas alignés. On note B et D les points d'affixes respectives b = - i a et d = i c. 

1 )  Dans cette situation, on suppose que a = 3 + 1/4 i et c = 1/2 - sqrt  ( 3 ) / 2 i.  Sur une figure, placer et construire ( c'est-à-dire à la règle non graduée et au compas ) lorsque nécessaire les points O, A, B, C et D. On justifiera les constructions de B, C et D. 

Dans les questions suivantes, on revient au cas général. On suppose que les points B et C sont distincts et donc A et D le sont aussi.

2 )  calculer les affixes des vecteurs AB et BC (  il y a une flèche ). Comparer les longueurs AD et BC et démontrer que les droites ( AD ) et ( BC ) sont perpendiculaires. 

3 ) On désigne par I le milieu du segment [ AC ]. En utilisant les affixes de deux vecteurs que l'on précisera, démontrer que la médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2 OI. 

4 ) La médiane issue de O du triangle ODB est-elle une hauteur du triangle OAC ? Justifier la réponse. 

Ce que j'ai fait : 

1 ) J'ai placé les points sur mon repère en lien avec ce qui est donnée dans l'énoncé. Je ne peux pas vous montrer car je ne sais pas comment faire. 

2 ) Calcul des affixes, 
AB ( flèche ) = zD - zA  = -ic - a 
BC ( flèche ) = zC - zB = c + ia 

Calcul des longueurs,
AD ( flèche ) = l zD - zA  l = l ic - a l = √((ic)²+ ( -a) ²) = √( - c² + a ²). 
BC ( flèche ) = l zC - zB l = l c + ia l = √((c)² + ( ia ) ²)= √( c² - a² ).  

Perpendiculaire,
J'ai utilisé la définition, AD et BC sont perpendiculaires si et seulement si (AD; BC) = π/2 + kπ ( k € Z ).
J'ai donc c'est l'argument ((zC-zB) /(zD-zA)).
Cela revient à montrer que ce complexe est un imaginaire pur.

3 et 4 je ne vois pas comment faire et je ne sais pas si mes calculs précédents sont bons. J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer afin de résoudre cette exercices pour un futur contrôle. Merci d'avance. Cordialement.

[pascal16]

AD = l zD - zA l = l ic - a l =
attention, c et a sont des complexes, c² et a² ne sont pas forcément des réels !

2 ) Calcul des affixes,
z AD = zD - zA = ic - a = i (c+ia)
z BC = zC - zB = c + ia

AD = i BC donc :
-> ils sont orthogonaux
-> ils ont même norme (ou longueur)

[Vanilla]

On a donc   zAD = izBC . 
Cela montre que le vecteur AD résulte d'une rotation de  /2 du vecteur BC. 
Merci beaucoup je peux achever ma question de comme ça ?

[pascal16]

oui, la question demande de 'comparer' les longueurs et pas de 'calculer' les longueurs.

[Vanilla]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.
Pour la question suivante je sais qu'il faut diviser les affixes par deux. Pour la suite je ne vois pas comment faire.

[pascal16]

médiane ( OI ) du triangle OAC est une hauteur du triangle ODB et que DB = 2 OI

je pense qu'il faut monter que OI est orthogonal à DB
affixe de OI :
affixe de DB :

[Black Jack]

Approche un peu différente :

2)
zA = x + i.y
zC = v + i.z
avec x, y , v et z des réels

zB = -i(x+iy)
zB = y - ix

zD = i.(v + iz)
zD = -z + i.v

vect(AD) = (-z-x ; v-y)
vect(BC) = (v-y ; z+x)

|AD|² = (-z-x)² + (v-y)² = (z+x)² + (v-y)²
|BC|² = (v-y)² + (z+x)²

--> |AD|² = |BC|²

et donc |AD|=|BC|

vect(AD).vect(BC) = (-z-x)(v-y) + (v-y).(z+x) = (v-y).(z+x-z-x) = 0

Le produit scalaire des vecteurs AD et BC est nul ... et donc ces vecteurs sont perpendiculaires (sous la condition qu'aucun des 2 vecteurs se soit nul, ce qui est imposé par l'énoncé.

Donc les droites (AD) et (BC) sont perpendiculaires (forcément coplanaires puisque repère à 2 dimensions).
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3)

I((x+v)/2 ; (y+z)/2)

vect(DB) = (y+z;-x-v)
vect(OI) = ((x+v)/2 ; (y+z)/2)

vect(DB).vect(OI) = ...

qui permet de conclure que (DB) est perpendiculaire à (OI) et que donc ...

|DB|² = ...
|OI|² = ...

et donc ...