Formule de Taylor Pour les polynômes

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Viko
Membre Relatif
Messages: 209
Enregistré le: 19 Juin 2017, 01:51

Formule de Taylor Pour les polynômes

par Viko » 15 Jan 2018, 18:28

Bonjour,

J'ai remarqué une petite subtilité dans l'énoncé de la formule de Taylor pour les polynômes données par mon prof, en effet il semblerait que pour que la formule fonctionne il est nécessaire que le corps sur lequel nous travaillons soit de caractéristique nul et je ne comprends pas pourquoi ! (je sais ce qu'est un corps de caractéristique nul je ne comprends juste pas en quoi c'est utile ici) si quelqu'un pourrait me fournir un éclairage se serait grandement apprécié ^^
Qui ne maîtrise pas ses Cassinis, termine à Telecom Nancy



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Ben314 » 15 Jan 2018, 18:34

Salut,
C'est quoi que tu appelle "la formule de Taylor pour les polynômes" ?
(des "formules de Taylors", au bas mot, y'en a pas loin d'une dizaine...)
Modifié en dernier par Ben314 le 15 Jan 2018, 18:34, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Mimosa
Membre Relatif
Messages: 432
Enregistré le: 19 Aoû 2016, 18:31

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Mimosa » 15 Jan 2018, 18:34

Bonjour

Si la caractéristique n'est pas nulle, à partir d'un certain rang, donc on ne peut pas diviser par

Viko
Membre Relatif
Messages: 209
Enregistré le: 19 Juin 2017, 01:51

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Viko » 15 Jan 2018, 18:43

d'accord @mimosa merci ! et la formule à laquelle je fais référence est celle-ci :

soit un corps de caractéristique nulle, , , on pose alors on a :

Qui ne maîtrise pas ses Cassinis, termine à Telecom Nancy

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Ben314 » 15 Jan 2018, 18:54

Viko a écrit:Soit un corps de caractéristique nulle, , , on pose alors on a :
Dans ce cas là, la formule reste "essentiellement valable" y compris en caractéristique première, mais il faut bien entendu donner un sens particulier à la quantité pour éviter la division par 0.
A savoir que, si alors on pose comme définition que où les sont les coefficients binomiaux (qui sont des entiers) avec mais où le calcul (en particulier la division) se fait dans Z et pas dans le corps considéré où on risque d'avoir une "division by zéro error".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par mathelot » 16 Jan 2018, 01:35

ce qui est remarquable avec les polynômes c'est l'absence de reste dans la formule de Taylor

Viko
Membre Relatif
Messages: 209
Enregistré le: 19 Juin 2017, 01:51

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Viko » 16 Jan 2018, 21:51

je ne trouve pas vraiment ça surprenant étant donné que les dérivés sont nécessairement nul à partir d'un certaine ordre
Qui ne maîtrise pas ses Cassinis, termine à Telecom Nancy

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Pseuda » 17 Jan 2018, 11:16

Les fonctions polynômes sont d'ailleurs les seules dans ce cas : dérivées nulles à partir d'un certain rang, donc reste intégral nul (dérivée nulle => primitive constante a => primitive a*x +b, etc...).

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Ben314 » 17 Jan 2018, 12:17

Pseuda a écrit:Les fonctions polynômes sont d'ailleurs les seules dans ce cas : dérivées nulles à partir d'un certain rang, donc reste intégral nul (dérivée nulle => primitive constante a => primitive a*x +b, etc...).
Oui, mais à mon avis, ce n'est pas le bon point de vue face à la question posée qui cherche à se placer dans un contexte purement algébrique, c'est à dire sur un corps K totalement quelconque et à priori non muni d'une topologie (donc on ne peut pas parler de "petit o") ni d'une mesure (donc on ne peut pas parler d'intégrale non plus). De plus, dans un corps de caractéristique non nulle, le fait que la dérivée d'un polynôme soit nulle n'implique pas que le polynôme est constant : dans Fp[X], la dérivée de X^p c'est 0.
(c'est d'ailleurs pour ça que j'ai demandé des précision concernant le sens de "la formule de Taylor" dans ce contexte vu qu'il me semble impossible d'écrire une quelconque formule de Taylor "avec reste" dans un corps quelconque)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Pseuda » 17 Jan 2018, 12:28

Bonjour Ben314,

Je me plaçais (sans le dire) dans un corps de caractéristique nulle. Maintenant dans un corps de caractéristique non nulle, je ne vois pas le lien entre la caractéristique non nulle du corps et (, pas au corps ), moins qu'avec : est-ce que la dérivée d'un polynôme existe toujours ?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21481
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Ben314 » 17 Jan 2018, 12:59

Dés que tu est dans un anneau unitaire A il y a un unique morphisme de groupe phi de (Z,+) dans (A,+) tel que phi(1_Z)=1_A qui te permet de "voir" les entiers comme étant des éléments de A : tu identifie l'entier n avec l'élément phi(n) de A.
Bien évidement, si l'anneau A est de caractéristique nulle, c'est à dire si Ker(phi)={0_Z}, cette identification est "sans risque" vu que dans ce cas phi induit une bijection de Z sur phi(Z) qui permet de considérer que Z est une partie de A. Alors que si A n'est pas de caractéristique nulle, il y a des entiers dont l'image dans A est nulle et en particulier l'image de n! peut être nulle et ça rend illicite la division par n! (dans le cas d'un corps).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Pseuda » 17 Jan 2018, 20:22

@Ben314 Pour bien comprendre ce que tu as écris, c'est toujours pareil, je pense qu'il faut avoir vu et pratiqué les polynômes dans les corps de caractéristique non nulle. Autant pour la dérivée d'un tel polynôme, que pour n! dans la formule de Taylor, que je ne me représente pas non plus dans ce cas.

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1223
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Formule de Taylor Pour les polynômes

par Archytas » 19 Jan 2018, 01:37

Pseuda a écrit:Autant pour la dérivée d'un tel polynôme, que pour n! dans la formule de Taylor, que je ne me représente pas non plus dans ce cas.

C'est franchement pas méchant, on pose comme définition de la dérivée d'un polynôme, la même que celle dans R[X], en constatant que , avec n, comme Ben l'a indiqué, et on étend la dérivation par A-linéarité au A-module de manière formelle (penser à comme un corps et remplacer module par espace vectoriel au besoin, on dit juste qu'on a défini l'application de dérivation sur les éléments de la base et qu'on la veut linéaire ; une unique application linéaire de dans vaut ce qu'on veut sur la base).

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 23 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite