Intégration sin(u(x))

[dchg41]

bonjour,
un coup de main pour cette intégrale qui me pose question :
intégrale de sin(ln(x))dx entre 1 et e ?
merci à tous !

[WillyCagnes]

Bjr,

I(x) = (-1/2)x[(cos(Ln(x)) -sin(Ln(x))] +Cte entre 1 et e

redérive I(x) pour verifier

[dchg41]

Bjr,

I(x) = (-1/2)x[(cos(Ln(x)) -sin(Ln(x))] +Cte entre 1 et e

redérive I(x) pour verifier

bonjour,
pouvez vous expliciter la démo?
merci.

[pascal16]

il t'a trouvé les primitives
l'exercice demande la valeur de l'intégrale, qu'on peut faire
-> poser y=ln(x), soit dy/dx=1/x
-> passer en intégrale complexe
-> calculer
-> prendre la partie imaginaire

C'est bien plus long que d'imaginer un truc inspiré ou pas de xln(x)

[dchg41]

j'en suis à int:sin.y.e^y^.dy=e^ysin.y -int:e^ycosy.dy
que faire à ce stade ?

[pascal16]

Je suis loin d'être très fort en primitive, je n'en fait plus assez souvent, Willy serait plus apte

soit
sin.y.e^y = Im[ exp((1+i)y)]

soit
siny= (e^iy-e^-iy)/2i

[dchg41]

Bjr,

I(x) = (-1/2)x[(cos(Ln(x)) -sin(Ln(x))] +Cte entre 1 et e

redérive I(x) pour verifier

oui la dérivée confirme cette intégrale
mais je ne vois pas la démonstration par les complexes ???
e^ îx=sinx+icos x?
merci de m'éclairer

[pascal16]

si mes souvenirs sont bons

[aymanemaysae]

Bonjour ;

en opérant le changement de variable : ,

on a : .

Une première IPP donnera :

Une deuxième IPP te permettra de conclure .

Pour la deuxième méthode , on remarque que :



Il ne te reste plus que la conclusion .

[dchg41]

j'avoue ne pas me souvenir de cette formule;
j'arrive à :e[cos 1 + isin 0 - cos1 -isin0]/1+i
manque encore des explications pour arriver à la solution (vérifiée) de Willy ,,?

d'où vient ce i en facteur ?devant le signe intégrale ?
pourrais tu aller jusqu'à la conclusion détaillée
je suis un peu perdu !
merci

[pascal16]

Im, c'est "partie imaginaire "




[PS] : pff, latex, plus de 5 minutes pour écrire 2 lignes

[WillyCagnes]

integration par partie en video
https://www.youtube.com/watch?v=lBuDpXTb0Fw

[Black Jack]

Avec 2 IPP successives (qui ont été virées du programme secondaire en France)

S sin(ln(x))dx

Poser sin(ln(x)) = u --> du = (1/x).cos(ln(x))
et poser dx = dv --> v = x

S sin(ln(x))dx = x.sin(ln(x)) - S cos(ln(x)) dx (1)
---
S cos(ln(x)) dx

Poser cos(ln(x)) = u --> du = -(1/x).sin(ln(x))
et poser dx = dv --> v = x

S cos(ln(x)) dx = x.cos(ln(x)) + S sin(ln(x))dx (2)
---
(2) remis dans (1) -->

S sin(ln(x))dx = x.sin(ln(x)) - x.cos(ln(x)) - S sin(ln(x))dx
2.S sin(ln(x))dx = x.sin(ln(x)) - x.cos(ln(x))

S sin(ln(x))dx = (x/2).(sin(ln(x)) - cos(ln(x)))

[pascal16]

au passage Wolfram alpha trouve les primitives (of course) et le classpad aussi (c'était pas gagné)

[dchg41]

merci c'est clair,
je ne pige tjrs pas comment on introduit e^ix = cos x+ i sin x ???

[dchg41]

au passage Wolfram alpha trouve les primitives (of course) et le classpad aussi (c'était pas gagné)

le classpad ques aquo ?

[Ben314]

Salut,

je ne pige tjrs pas comment on introduit e^ix = cos x+ i sin x ???

Deux réponses :
- Niveau Lycée (et/ou pas trop matheux) : on prend ça comme une définition que l'on prolonge même en puis on vérifie que c'est cohérent avec les propriétés classiques de l'exponentielle, c'est à dire que reste vrai, y compris avec et complexe et que la dérivée de est toujours , y compris avec complexe.
- Niveau un peu plus élevé (en général vu en L2) : pour tout complexe z, exp(z) est défini comme la somme des z^n/n! pour n>=0 : la série est convergente avec un rayon de C.V. infini et on montre aisément qu'elle a toutes les propriétés qu'on attend d'elle (en terme algébrique et en terme analytique). Cette approche permet de définir proprement les fonctions sinus, cosinus ainsi que la valeur remarquable Pi

[pascal16]

classpad, nspire cas.. sont des calculatrices formelle, elle savent donner des résultats sous forme littérale.