Exercice sur Infimum

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ichigokurosaki14
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Exercice sur Infimum

par ichigokurosaki14 » 13 Jan 2018, 17:42

Bonjour, je suis en train de me préparer pour un examen d'analyse mathématique et je n'arrive pas à trouver une solution à un exercice. C'est pourquoi j'aurai besoin d'un coup de pouce :D

Voici l'énoncé :

On considère l’ensemble A := {x | e^x +x > 0} et on pose a := inf A.

Soit x0 ∈ R.

On considère la suite (xn)n∈N définie par la récurrence :

x(n+1) = ϕ(xn) où ϕ(x) := (e^x . (x-1))/ (e^x +1)

Prouvez que ϕ(a) = a.

Merci d'avance pour vos réponses !
Modifié en dernier par ichigokurosaki14 le 13 Jan 2018, 20:39, modifié 1 fois.



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vejitoblue
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Re: Exercice sur Infimum

par vejitoblue » 13 Jan 2018, 18:07

salut!
si (xn) converge alors c'est vers un point fixe de f

Elias
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Re: Exercice sur Infimum

par Elias » 13 Jan 2018, 18:19

Salut,

c'est quoi a ? La limite de (xn) ?
As tu montré que cette suite converge ? Est-ce le cas ? Est-ce le cas pour tout x0 ?
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aviateur
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Re: Exercice sur Infimum

par aviateur » 13 Jan 2018, 19:19

Vas y @ichigokurosaki14, c'est du classique ! Il y a plusieurs étapes
1. tu peux commencer par étudier les variations de f et représenter la courbe représentative de ainsi que la droite y=x.

ichigokurosaki14
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Re: Exercice sur Infimum

par ichigokurosaki14 » 13 Jan 2018, 20:40

Oups j'ai oublié une partie de l'énoncé c'est corrigé désolé :gene:

1) on n'a pas vu ce qu'était un point fixe donc je pense qu'on ne peut pas utiliser ce point de théorie.

Elias
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Re: Exercice sur Infimum

par Elias » 14 Jan 2018, 15:23

Salut,

Du coup, la suite xn n'intervient pas dans la réponse à la question.


La fonction x -> exp(x)+x est strictement croissante sur R (dérive simplement), continue et vu ses limites en -oo et +oo, on peut dire avec le TVI qu'il existe un unique b réel tel que exp(b)+b=0.

Tu peux démontrer facilement que le a tel que tu le défini (a = inf {x réel, exp(x)+x>0} est égal à b, c'est à dire: exp(a)+a=0 ou encore exp(a)= -a.


Maintenant, si tu veux calculer phi(a), déjà tu peux car a n'est pas égal à 1 (puisque e est différent de -1) et ça fait :


[exp(a)(a-1) ] / [exp(a)+1]

En remplaçant exp(a) par -a et en factorissant comme il faut, tu obtiens bien phi(a)=a
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

ichigokurosaki14
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Re: Exercice sur Infimum

par ichigokurosaki14 » 15 Jan 2018, 12:32

Merci beaucoup Trident2 pour la résolution de cette exercice !

aviateur
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Re: Exercice sur Infimum

par aviateur » 15 Jan 2018, 12:45

Alors??? la suite (x_n) faisait partie de l'énoncé ou pas?

Elias
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Re: Exercice sur Infimum

par Elias » 15 Jan 2018, 13:16

Je pense qu'elle fait partie de l'énoncé et qu'il y a des questions après qui sont en rapport avec cette suite.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

 

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