Transformation géométrique avec des complexes

[max29]

Bonjour,d'habitude j'arrive bien bien à imager ces complexes mais cet exo me perturbe..
J'espère que vous voudriez bien m'aider pour cet exo car je sais pas comment m'y prendre..

Soit f l'application de C dans C définie par f(z)=(1+j)z+j

1:Résoudre l'équation f(z) =z

2 a: on note z' = f(z) l'image de z par la fonction f. Montrer que (z'+1) =(1+j)(z+1).

b/En déduire que la transformation géométrique associée à f est une similitude dont on donnera le centre ,le rapport et l'angle.

c A tout point M d'affixe z=x+jy cette transformation géométrique associe le point m' d'affixe z'=x'+jy'. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.

d/ Déterminer une équation de la droite (D') image de la droite (D) d'équation 2x-y+1=0

Alors,pour le 1 :
(1+j)z+j=z
z+zj+j =z
zj+j=0 comme j =différent de 0
j(z+1)=0 donc z=-1
le 2:
z'=(1+j)z+j donc z'+1=(1+j)z+j on développe =z+zj+j+1 on factorise (1+j)(z+1)

Je sais pas si ce que j'ai fait est correct mais pour la b je vois pas du tout ce qu'il faut faire...
Merci de votre aide!!

[Carpate]

Donc est le point invariant de cette transformation
Et on a : ce qui caractérise la similitude de centre ), de rapport et d'angle

[max29]

merci pour la réponse mais je comprend pas très bien..

Je comprend que j'ai une une fonction z=(1+j)z+j une image z' ,le point central de cette projection est I soit -1
Je dois trouver le vecteur et l'angle pour partir de z et obtenir z'..

Le vecteur doit être z'-z et arg z'-arg z

le rapport 1+j =racine de 2
et l'angle cos racine 2 /2 et sinus racine 2/2 soit pi /4

Pourquoi l'angle est arg 1+j?
et le rapport 1+j?

[max29]

Pourquoi on passe de z'+1=(1+j)(z+1) à z'-z0=(1+j)(z-zo) ? c'est la fonction en zo?
Désolé j'ai du mal..

[capitaine nuggets]

Salut !

Carpate a cherché à mettre en évidence le point invariant dans l'expression de en fonction de .

[Carpate]

On a la relation
on a montré que ce qui montre que le point I d'affixe z_0 est invariant dans l'application f
soit si on remplace par , on obtient qui s'écrit aussi
C'est la similitude directe de centre d'angle et de rapport

[max29]

D'accord,donc le rapport entre z et z' est 1+j et d'angle 1+j
Donc si z=x+jy et z'=x'+jy' z'=(1+j)x+(1+j)y
x'=(1+j)x
y'=(1+j)y

si l'équation de la droite est 2x-y+1=0 alors d'=(1+j)2x-(1+j)y+1

[Carpate]

D'accord,donc le rapport entre z et z' est 1+j et d'angle 1+j

Non !
Le rapport de similitude est |1+j| ce qui n'est pas la même chose que 1+j
|1+j| = |1 + cos(2pi/3) +i sin(2pi/3)| = ...
si tu connais la relation ,

[max29]

il faudrait donc que je rajoute ces rapports a z pour obtenir z'?

[Carpate]

[max29]

alors z'=(z-zo)(1+j)+zo=x'+jy'
z'=z+j(z-zo)
x'=z et y'= (z-zo)=(z+1)

[max29]

2x+1=y ressemble a f(z)=(1+j)z+j
D'= 2(z-zo)+(z-zo)

[max29]

On a la relation
on a montré que ce qui montre que le point I d'affixe z_0 est invariant dans l'application f
soit si on remplace par , on obtient qui s'écrit aussi
C'est la similitude directe de centre d'angle et de rapport

z=z'??

[max29]

D'accord,donc le rapport entre z et z' est 1+j et d'angle 1+j

Non !
Le rapport de similitude est |1+j| ce qui n'est pas la même chose que 1+j
|1+j| = |1 + cos(2pi/3) +i sin(2pi/3)| = ...
si tu connais la relation ,

Ce n'est pas pi/3? au lieu de 2pi/3

[Carpate]

Effectivement :

[max29]

Pour calculer la droite D',il faut que je transforme la droite (D) d'équation 2x-y+1=0 en complexe et que je rajoute le rapport et l'angle?

[Carpate]

D'accord,donc le rapport entre z et z' est 1+j et d'angle 1+j
Donc si z=x+jy et z'=x'+jy' z'=(1+j)x+(1+j)y
x'=(1+j)x
y'=(1+j)y

Non tu développes : x'+iy'=(1+j)(x+iy) +j
avec :



Puis tu écris que les parties réelles et imaginaires respectives de z et z' sont égales
Sauf erreur on trouve :

[max29]

merci mais
D'ou vient ij?

Carpate tu en as déjà beaucoup fait mais pourrais tu m'expliquer le cheminement depuis le début pour que je comprenne plus facilement..
Car il faudra que j'arrive à le faire tout seul.

[max29]

Je suis perdu au moment de la similitude.Je comprend la démarche avec z0 mais je ne vois pas en quoi on montre que (z'+1) =(1+j)(z+1) en remplaçant 1 par (-zo)

Merci pour ton temps!

[Carpate]

D'ou vient ij ?

Si tu avais fait le calcul : x'+iy'=(1+j)(x+iy) +j tu ne poserais pas cette question

pourrais tu m'expliquer le cheminement depuis le début pour que je comprenne plus facilement

Quel point précis du "cheminement" te pose problème ?