Espace à produit scalaire, orthogonalité

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Pseuda
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Pseuda » 10 Jan 2018, 22:13

Bonsoir,

@vejitoblue : mon écriture (1,x,x^2, ..., x^n) était un raccourci de (x->1, x->x, x->x^2, ..., x->x^n), base de fonctions polynomiales. La base canonique de Rn[X] (espace vectoriel des polynômes de degré <= n) quant à elle est (1, X, X^2, ..., X^n) si X est l'indéterminée, soit la suite (0,1,0, ....,0).

La différence entre polynôme et fonction polynôme : pour moi, une fonction polynôme est une fonction (n'est-ce-pas ?) qui s'écrit f(x)=P(x) avec P un polynôme, et un polynôme P est une expression formée de puissances d'une indéterminée (qui peut être un réel, un complexe, une matrice, une application linéaire, ... tout ce qu'on peut imaginer qui peut se multiplier par lui-même pour donner un élément de même nature, donc par exemple, pas un vecteur, encore que...).

@Ben314 : on est censés faire le calcul à la main, pas se servir d'un logiciel. Je crois qu'il y a un autre procédé qui, dans certains cas, peut être plus rapide pour orthonormaliser une base.



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vejitoblue
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par vejitoblue » 11 Jan 2018, 20:23

salut.

ben: laisse moi déjà faire des maths, on verra après pour apprendre des langages de programmations (j'ai quelques bases). Mais ça m'interesse vachement en tout cas, j'ai quelques bases en python, j'ai aussi installé R sur mon ordi parce que je prevois à l'avenir de faire des maths financières (je sais rien faire encore même pas un "plot") du coup ça serait peut être le moment de s'y mettre 8-). Comme en plus je suis autodidacte, pour verif les calculs ça peut être utile.

pseuda: ouais j'ai pas encore beaucoup d'expériences à part dans R^n, faut que je fasse plus d'exos pour m'habituer à d'autres espaces.

bon je raconte ma life parce que j'ai pas évolué depuis sur ce sujet, prochaine étape; les formes quadratiques ?

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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par vejitoblue » 12 Jan 2018, 17:31

hello =)




montrer que est PS et que est une base orthonormale.

déjà phi est trivialement un ps (linéarité et symétrie de l'intégrale comme d'hab + exp² >0)
soit maintenant p et k entier naturel differents



là je suis passé au "langage cosinusien" (sic), j'ajoute ça avec e^-intheta j'obtiens ok X^p et X^k sont orthogonaux. comme ça marche pour tout les entiers tout les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2....

on a notre base orthonormale.

c'est nbon :?: en tout cas même si c'est faux c'est beau :mrgreen:

Elias
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Elias » 12 Jan 2018, 17:41

Salut!


tu veux dire ? (et non pi)

Pour phi(X^k, X^p), il y a une erreur de signe, le truc qui est dans le crochet donne :

ce qui donne plutôt qui donne bien 0 lorsque p est différent de k car p-k est entier (d'ailleurs ça donne aussi 0 quand p=k... ) Avec le cosinus, ça donnerait +1 où -1 et y'aurait un pb.


Le reste me semble OK.
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par vejitoblue » 12 Jan 2018, 17:49

Trident2 a écrit:Salut!


tu veux dire ? (et non pi)

ouais j'ai pensé trop vite :oops:

Pour phi(X^k, X^p), il y a une erreur de signe, le truc qui est dans le crochet donne :

ce qui donne plutôt qui donne bien 0 lorsque p est différent de k. Avec le cosinus, ça donnerait +1 où -1 et y'aurait un pb.


oui en effet, j'ai refait t'as raison à mon avis

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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par vejitoblue » 12 Jan 2018, 19:10

re.
f un endomorphisme d'un espace euclidien tel que <f(x),y>=<x,f(y)> pour tout x y dans E

j'arrive pas à construire la matrice de f dans une certaine base orthonormée (qui devrait être symétrique).

plus particulièrement j'aimerais montrer un théorème: la matrice de l'adjoint f* de f dans une base orthonormée est la transposée de la matrice de f dans cette base (le schmilblick :geek: )

Elias
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Elias » 12 Jan 2018, 20:09

Pour le théorème :
Resultat utile à retenir: Si B={e1,e2,...,en} est une base orthonormé de ton espace Euclidien E, alors pour tout x dans E, les coordonnées de x dans la base B peuvent s'exprimer en fonction du produit scalaire.

Plus précisément, tu as x = <x,e1> e1 + <x,e2> e2+...+ <x,en> en.
Donc les coordonnées de x dans B sont <x,e1>,...,<x,en>.
Tu peux t'entraîner à la redémontrer, c'est très simple.

Si tu prends maintenant une application lineaire f: E->E et B={e1,e2,...,en} une base orthonormée, alors la matrice de f dans cette base, c'est la matrice qui contient en colonne les coordonnées des f(ej) dans la base B (pour chaque entier j entre 1 et n).

C'est donc la matrice des <f(ej), ei> où i et j se baladent dans {1,..,n} (avec i ligne et j colonne).

Maintenant, si on veut la matrice de f* dans B,c'est du coup la matrice des <f*(ej),ei>.

Mais <f*(ej),ei>= <ej, f(ei)> = <f(ei),ej>

Ainsi, la matrice de f* dans B est la matrice des <f(ei),ej> ave i,j dans {1,...n}
Comme i et j sont inversés, c'est bien la transposée de Mat (f, B)


Sauf erreur.
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Skullkid
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Skullkid » 12 Jan 2018, 21:00

vejitoblue a écrit:hello =)




montrer que est PS et que est une base orthonormale.

déjà phi est trivialement un ps (linéarité et symétrie de l'intégrale comme d'hab + exp² >0)


Bonjour, attention ce n'est pas si trivial que ça et les arguments que tu avances ne suffisent pas. Il y a des complexes dans le tas, donc les exponentielles et les carrés ne sont pas forcément positifs, et d'ailleurs a priori phi est à valeurs dans les complexes, alors que pour être un produit scalaire il faut que phi renvoie toujours un réel (c'est le cas, mais encore faut-il le montrer).

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Ben314
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Ben314 » 12 Jan 2018, 21:03

Salut,
Une autre façon de voir le schmilblick, c'est que si deux vecteur x et y ont comme coordonnées (x1,x2,...,xn) et (y1,y2,...,yn) dans une base orthonormée B, alors le produit scalaire <x|y> de x et y, c'est la somme des xi.yi (i de 1 à n).
Donc si on note X et Y les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y (dans B), on a <x|y>= désigne la transposé de X i.e. le vecteur ligne correspondant (et où on a identifié la matrice 1x1 à un scalaire).
Maintenant, si tu as un endomorphisme F de matrice A dans la base B alors tu as <x|F(y)>= et d'un autre coté, tu as <F(x)|y>= or, comme <F(x)|y>=<x|F*(y)>, ben ça montre que la matrice de F*, c'est .
Modifié en dernier par Ben314 le 12 Jan 2018, 21:46, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Elias
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Elias » 12 Jan 2018, 21:07

Skullkid a écrit:
vejitoblue a écrit:hello =)




montrer que est PS et que est une base orthonormale.

déjà phi est trivialement un ps (linéarité et symétrie de l'intégrale comme d'hab + exp² >0)


Bonjour, attention ce n'est pas si trivial que ça et les arguments que tu avances ne suffisent pas. Il y a des complexes dans le tas, donc les exponentielles et les carrés ne sont pas forcément positifs, et d'ailleurs a priori phi est à valeurs dans les complexes, alors que pour être un produit scalaire il faut que phi renvoie toujours un réel (c'est le cas, mais encore faut-il le montrer).



En effet et de plus le fait que exp^2 > 0 sur R n'aide pas vraiment à montrer le coté définie positive.

@vejitoblue: pour montrer que phi est à valeur dans R,tu peux par exemple regarder le conjugué de phi.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

Pseuda
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Re: espace à produit scalaire, orthogonalité

par Pseuda » 12 Jan 2018, 23:52

vejitoblue a écrit:hello =)




montrer que est PS et que est une base orthonormale.

déjà phi est trivialement un ps (linéarité et symétrie de l'intégrale comme d'hab + exp² >0)

Bonsoir,

produit scalaire ne me paraît pas si trivial que ça. La symétrie s'obtient avec un changement de variable ( en ). La positivité s'obtient avec .

Sinon pour montrer que est une base orthonormée, on peut s'en sortir sans revenir à cos et à sin, une primitive de la fonction étant la fonction .

Bon, je vais regarder l'autre. Oups, pas vu le dernier message de Trident2. Ni celui de Skullkid, en effet il faut commencer par montrer que est à valeurs dans R. ;)

 

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