Inverse d'une fonction et réciproque

[Laurine24]

Bonsoir tout le monde!

Je révise de l'analyse, et là je crois que je suis en train de m'emmêler les pinceaux!

Est-ce que l'inverse d'une fonction et la réciproque d'une fonction sont deux termes qui signifient la même chose?

Parce que dans mon cours, on avait fait un schéma d'une fonction f et on avait dessiné f(-1), la réciproque de f, en faisant une symétrie autour de l'axe y =x. Pourtant, en faisant des exercices supplémentaires pour réviser, il y a marqué dans le corrigé, avec ma fonction f: y = x^2 - x + 2, que " l'équation x = y^2 -y + 2 définit la fonction dont le graphe est la symétrie du graphe de f par rapport à y = x, mais il n'est pas le graphe de f(-1)." Mais je ne comprends pas, ça me semble dire exactement l'inverse de mon cours!

Merci beaucoup de m'éclaircir à ce sujet!

PS: On est d'accord que l'inverse de x reste x? Ou alors justement pas et c'est 1/x??

[aviateur]

Bonjour

" l'équation x = y^2 -y + 2 définit la fonction dont le graphe est la symétrie du graphe de f par rapport à y = x, mais il n'est pas le graphe de f(-1)."

Quand je lis cela c'est un vrai méli-mélo.
Il faut revenir aux sources: faire des phrases correctes pour que l'on se (te) comprenne.
Une application f, ici numérique (c'est à dire que les ensembles considérés sont des sous-ensembles de R) consiste à faire correspondre à tout nombre un nombre noté
I est l'ensemble de départ de f (souvent c'est un intervalle).
Donc pour commencer à parler de la fonction réciproque de f, il faudrait commencer par dire ce qu'est f exactement, c'est à dire quel est son ensemble de départ?

[pascal16]

vu par les fonctions, "1/x" n'est pas l'inverse de "x"

si je part de 2, l'image par "x" de 2 est 2, et l'image de ce dernier par "1/x" est 1/2, on ne revient pas au départ.

la fonction réciproque de "x" est en fait "x"

la fonction réciproque de "3x" est "x/3"
la fonction réciproque de "3x-1" est "(x+1)/3"
car si y = 3x-1
on a y+1 = 3x
soit x= (y+1)/3

[Archytas]

Est-ce que l'inverse d'une fonction et la réciproque d'une fonction sont deux termes qui signifient la même chose?

Oui, c'est bien la même chose.

" l'équation x = y^2 -y + 2 définit la fonction dont le graphe est la symétrie du graphe de f par rapport à y = x, mais il n'est pas le graphe de f(-1)."

C'est en effet un peu bizarre comme phrase parce que l'équation x = y^2 -y + 2 ne définit pas une fonction en x. Cela dit l'idée qui est derrière est qu'une fonction polynomiale de degré 2 de la forme n'est pas inversible ; en faisant le symétrique de son graphe par rapport à tu trouves quelque chose qui n'est pas le graphe d'une fonction car une fonction f associe à une abscisse x une unique valeur : f(x) or sur le graphe symétrique que tu trouves "pour beaucoup de x tu as deux f(x)".
Tu as dû voir qu'une fonction bijective (donc une fonction pour laquelle existe) est une fonction injective et surjective et ce qui fait défaut aux fonctions de la forme est qu'elles ne sont pas injectives si (elles ne sont pas non plus surjectives mais l'histoire du graphe est surtout pour mettre en lumière la non-injectivité à mon sens).

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour ma part, j'aurais dit que la fonction inverse d'une fonction f c'est la fonction 1/f, et sa réciproque c'est la fonction f^(-1). Mais on peut parler d'inverse au sens d'élément inversible dans un groupe, donc...il y a peut-être une confusion dans la terminologie.

Mais ceci n'a rien à voir avec la question posée.

[aviateur]

Rebonjour, si par exemple f: R----> R est monotone strictement croissante et que
alors il existe une fonction unique g définie de R--->R tel que

Cette fonction g notée est la fonction réciproque de f mais c'est aussi son "inverse" pour la loi

[Laurine24]

D'accord, merci à tous pour vos réponses, c'est déjà plus clair pour moi !