Equations differentielles

[jean4927]

bonjour, quelqu'un peut il m'aider sur ces trois exercices?
exercice 1 :
on considere l'equation diff suivante : x''+ax'+bx=0
trouver a et b tel que e^2t et e^-t sont solutions.

exercice 2 :
determiner une solution DSE de : 2t(1+t)x''+(5t+3)x'+x=0
calculer son rayon domaine de definition.

exercice 3 :
on considere l'equa diff suivante : tx'+x=e^t
1-Donner l'ensemble des solutions sur R+*
2-Donner l'ensemble des solutions sur R-*
3-Montrer qu'il existe une unique solution sur R.

Pour l'exercice 1 : j'ai calculé a et b en fonction des solutions d'un polynome de degré 2, c'est ce qu'il fallait faire?

Pour l'exercice 2 : j'ai posé f(t)= somme de 0 a l'infini de ant^n et j'ai trouvé un DSE a partir de la, je ne sais pas si c'etait ce qu'il fallait faire, j'ai trouvé un rayon=1.

Pour l'exercice 3 : je n'ai aucune idée de comment procéder.

Merci d'avance pour votre aide précieuse.

[mathelot]

bonsoir,
on remplace x par
il vient



soit le système

[jean4927]

bonsoir,
pour la (1) a=0 ET b=-1

avec a=0 et b=-1, ca donne S=(lambda*e^t+mu*e^-t)..., comment as-tu determiné cette solution la?

[aviateur]

Bonjour
Pour le 2) tu a dû trouver le DSE de
avec R=1. (Le DSE étant 1-t/3+t^2/5-t^3/7......)

Pour le 3) Je n'ai pas fait les calculs mais l'idée générale dans ce genre de question c'est de résoudre séparément l'équation sur R^+ et R^-. Ensuite tu regardes celles qui se raccordent en t=0. S'il y a des candidats il faut vérifier
qu'elles sont localement solutions en t=0.
Tu peux commencer les calculs et dire si cela te pose problème.

[jean4927]

Pour le 1 , je l'ai resolu par moi meme, j'ai trouvé a=-1 et b=-2, merci @mathelot pour m'avoir orienté vers la reponse

[mathelot]

Pour le 1 , je l'ai resolu par moi meme, j'ai trouvé a=-1 et b=-2, merci @mathelot pour m'avoir orienté vers la reponse

oui, j'ai corrigé mon erreur depuis

[jean4927]

Bonjour
Pour le 2) tu a dû trouver le DSE de
avec R=1. (Le DSE étant 1-t/3+t^2/5-t^3/7......)

Pour le 3) Je n'ai pas fait les calculs mais l'idée générale dans ce genre de question c'est de résoudre séparément l'équation sur R^+ et R^-. Ensuite tu regardes celles qui se raccordent en t=0. S'il y a des candidats il faut vérifier
qu'elles sont localement solutions en t=0.
Tu peux commencer les calculs et dire si cela te pose problème.

Salut Aviateur, merci d'avoir pris le temps de me repondre, alors pour l'exercice 3, j'ai trouvé comme solution :
x(t)=e^t/t + c/t , en fait c'est les questions que je n'ai pas compris, comment determiner l'ensemble des solutions sur un intervalle precis?

Pour l'exercice 2, je crois que je me suis embrouillé, peux-tu m'expliquer comment demarer?

[mathelot]

pour la (3) n'y a t il pas une erreur d'énoncé, j'aurai plutôt vu
tx'+x=e^{-t}
?

[jean4927]

pour la (3) n'y a t il pas une erreur d'énoncé, j'aurai plutôt vu
tx'+x=e^{-t}
?

Possible qu’il y en ait une mais sur l’ennonce c’est bien marqué e^t

[mathelot]

pour la (3), il y a une constante d'intégration par intervalle de définition:
c1 pour et c2 pour

[aviateur]

Pour le 3)
Les solution sur [tex]R_+[tex] et [tex]R_-[tex] sont [tex]x_1(t)=e^t/t+c_1/t et x_1(t)=e^t/t+c_2/t.[tex] Un petit DL montre que pour que ces deux fonctions ait une limite finie en t=0 c'est c_1=c_2=-1.

Ainsi si il y a une R solution x(t) alors x(t)=e^t/t-1/t. Il reste à prolonger cette fonction en t=0 et de vérifier que ce prolongement est bien solution de l'équation diif (vérification précise à faire en t=0).

Pour le 2) Raisonnement par analyse synthèse . Poser [tex]x(t)=\sum_{n \in \N} a_n t^n[tex] avec R=rayon de CV >0.
Remplacer ds l'équa diff puis mettre sous a forme [tex]\sum_{n \in \N} b_n t^n=0.[tex] Comme R>0 alors b_n=0 pour tout n.
Ce qui donnera les a_n ( à un facteur près). Vérifier enfin que le série obtenue est bien une solution ( c'est quasi automatique mais regarder si son rayon de Cv est bien >0).

En principe la série entière obtenue (à un facteur près) à un rayon de cv=1 et correspond à la fonction que j'ai donnée ds un post précédent