[Résolu]Endomorphisme et vecteurs propres

[pierre33]

Bonjour à tous,

j'aurais besoin d'aide pour un exo.

1) f désigne un endomorphisme de tel que :


Cette définition fait-elle apparaître des valeurs propres de f ? Quels sont les sous-espaces propres associés ?

Les valeurs propres sont 1 et -1. Mais je ne vois pas comment trouver les sous-espaces propres.
J'avais pensé à pour le SEP associé à 1.

Si jamais vous pouviez me donner une indication.

Merci d'avance.

[Kolis]

Bonjour !
Si désignent des supplémentaires dans tu as les sous espaces propres cherchés.

Sinon, il faudrait nous en dire plus dans ton énoncé.

[Ben314]

Salut

Les valeurs propres sont 1 et -1. Mais je ne vois pas comment trouver les sous-espaces propres.

Comme "indication", ce que je peut te dire, c'est que même ça, c'est faux : si P et D sont vides ou bien égaux à {(0,0,0)} alors les deux affirmations sont forcément vraies et ne disent rien sur les valeurs propres de f.

[pierre33]

Bonjour à vous,

merci pour vos réponses.

Je n'ai absolument aucune information sur P et D, c'est bien ce qui me dérange aussi.

En imaginant que P et D soient supplémentaires, comment je trouve les sous espaces propres ?

[Pseuda]

Si P et D sont supplémentaires, f est visiblement la symétrie par rapport à P parallèlement à D.

[pierre33]

D'accord, je n'ai rien compris.

C'est une annale que j'essaie de faire, le cours a du changé. Je n'ai surement pas les bases nécessaires.
Tant pis, sujet clos.

[Pseuda]

Bonjour,

Dommage. Tu as dû voir que de manière générale, si P et D sont supplémentaires, f est entièrement déterminée par sa restriction à P et sa restriction à D.

Ici, dans une base formée de vecteurs d'une base de P et d'une base de D, la matrice de f est diagonale et sa diagonale ne comporte que des 1 et -1, donc ses valeurs propres sont 1 et -1, et les sous-espaces propres associés sont P et D.

[pierre33]

Bonjour !

Dommage. Tu as dû voir que de manière générale, si P et D sont supplémentaires, f est entièrement déterminée par sa restriction à P et sa restriction à D.

Justement non ... Je suis en licence physique et notre cours d'algèbre linéaire est assez basique.

En tout cas grâce à vous c'est bon, je pense avoir enfin compris... Il fallait utiliser une info' d'une question précédante qui parlait d'un plan vectoriel et d'une droite vectorielle (ici P et D a priori).

Je trouve alors , où B' est une base de l'exercice.

C'est cohérent avec ce que vous me dites, et avec la suite.

Merci encore.