Det(A+B)=det(B)

[dilzydils]

bonjour

Si A est une matrice nilpotente et B une matrice telle que AB=BA.
Il faut mq det(A+B)=det(B). et j'y arrive pas. :help:

Merci

[mathador]

Bonjour

sans avoir cherché la solution, un rélfexe me vient devant ton énoncé : si A et B commutent, on peut utiliser le binôme de Newton. Le fait que A soit nilpotente pourrait bien rendre cela intéressant ... je ne sais absolument pas si ça fonctionne, mais à mon avis ça vaut le coup d'essayer de s'en tirer avec ça !

Et si t'as pas de chance, je t'ai filé une fausse piste :we:
Amicalement

[jose_latino]

bonjour
Si A est une matrice nilpotente et B une matrice telle que AB=BA.
Il faut mq . et j'y arrive pas. :help:
Merci

Si n'est pas inversible, il faut montrer que n'est plus inversible. Si est inversible il suffit de montrer le résultat pour le cas , car , car est encore nilpotente. Mais c'est possible démontrer que pour une matrice nilpotente , il existe une matrice triangulaire supérieur (ou inférieur) équivalente à telle que sa diagonale soit nulle. Alors

[Vedeus]

Si les matrices sont à coefficients complexes, il suffit de
trigonaliser simultanément les matrices A et B.
Sinon, on peut toujours se plonger dans un extension du corps de base
pour laquelle le polynôme caractéristique de A est scindé.

[dilzydils]

Si les matrices sont à coefficients complexes, il suffit de
trigonaliser simultanément les matrices A et B.

Ah oui c'est vrai, 2 matrices trigonalisables qui commutent sont forcement cotrigonalisables...
Mais au fait, comment ca se demontre ce truc??

[Vedeus]

Ah oui c'est vrai, 2 matrices trigonalisables qui commutent sont forcement cotrigonalisables...
Mais au fait, comment ca se demontre ce truc??

On commence par prouver l'existence d'un vecteur propre commun
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