Calcul limite d'une suite

[coco7513]

Bonjour, je n'arrive pas à calculer lim (2/(n+1))^(1/n) lorsque n tend vers + l'infini.

J'ai essayé de passer par l'exponentielle mais je n'en ressort rien.

Merci d'avance pour votre aide.

[pascal16]

si la limite existe, alors ln(.) a comme limite ln(la limite)

[coco7513]

Si on appelle (xn) la suite alors ln(xn)=(1/n)ln(2/(n+1)) et donc en utilisant la croissance comparé sur les limites alors ln(xn) tend vers 0 donc xn tend vers 1.

Je ne suis pas sûr que ca soit bien rédigé mais merci pour la piste...

[pascal16]

il manque quelques justifications, on a pas exactement une croissance comparée et la composition de limite finale nécessite une continuité.

soit Vn la suite définie par : pour tout n dans N* Vn= ln(xn)
Vn est bien définie car (Vn), n €N* est positive
Vn =(1/n)ln(2/(n+1))
Vn = 0.5 (n/n+1) * (2/(n+1))ln(2/(n+1))
quand n tend vers l'infini, 2/(n+1) tend vers 0
utilisant les croissances comparées, et la composition des limites Vn tend vers 0
exp() est continue en 0, on a donc lim de exp(Vn) = 1
or exp(Vn)= xn
donc lim xn=1