Bonjour,
J'ai un exercice de base sur les nombres de Mersenne, mais je bloque sur pas mal de choses.
Pour , on considère le nombre de Mersenne .
1- Montrer que la classe de est inversible dans l'anneau .
2- Donner la valeur de
3- Quel est l'ordre de dans le groupe multiplicatif ?
4- En déduire les valeurs de telles que soit divisible par .
5- Trouver le reste de la division euclidienne dans de par . Quel est le nombre de chiffres de l'écriture en base de ?
6- Montrer que est cyclique et donner ses générateurs et ses sous-groupes.
Résolution :
1- On sait que la classe d'un entier est inversible dans l'anneau si et seulement si
Ici, ce qui est équivalent à est inversible dans
2- Le groupe multiplicatif est d'ordre . On en conclut que où est l'indicatrice d'Euler. Comme est premier alors .
De plus, on en déduit que est un corps car est premier.
3- Notons l'inverse de
(Ici, je ne comprends pas la question, est-ce qu'on me demande de trouver l'ordre m de l'inverse de dans le groupe ? De plus, au niveau des notations c'est un calvaire, habituellement on note l'inverse de 2 modulo 59 pour notre exercice, mais peut-on parler de l'inverse de la classe de 2 modulo 59 ?)
Par Lagrange, l'ordre du groupe divise le cardinal du groupe, alors donc .
La liste des diviseurs de 58 c'est
Par division euclidienne de 59 par 2, on a que 1=59-2x29 alors l'inverse de c'est .
Alors,=30 mod 59, =15 mod 59, = -1 mod 59 donc = 1 mod 59.
L'ordre m de dans le groupe multiplicatif est 58.
4- (Je bloque ici, même si je vois bien comment faire la question, mais pour moi je fais pas du tout ce qui est demandé à la question précédente, si je pouvais avoir un petit coup de pouce merci)