Anneaux Z/nZ

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai un exercice de base sur les nombres de Mersenne, mais je bloque sur pas mal de choses.

Pour , on considère le nombre de Mersenne .
1- Montrer que la classe de est inversible dans l'anneau .
2- Donner la valeur de
3- Quel est l'ordre de dans le groupe multiplicatif ?
4- En déduire les valeurs de telles que soit divisible par .
5- Trouver le reste de la division euclidienne dans de par . Quel est le nombre de chiffres de l'écriture en base de ?
6- Montrer que est cyclique et donner ses générateurs et ses sous-groupes.

Résolution :

1- On sait que la classe d'un entier est inversible dans l'anneau si et seulement si
Ici, ce qui est équivalent à est inversible dans
2- Le groupe multiplicatif est d'ordre . On en conclut que où est l'indicatrice d'Euler. Comme est premier alors .
De plus, on en déduit que est un corps car est premier.
3- Notons l'inverse de
(Ici, je ne comprends pas la question, est-ce qu'on me demande de trouver l'ordre m de l'inverse de dans le groupe ? De plus, au niveau des notations c'est un calvaire, habituellement on note l'inverse de 2 modulo 59 pour notre exercice, mais peut-on parler de l'inverse de la classe de 2 modulo 59 ?)

Par Lagrange, l'ordre du groupe divise le cardinal du groupe, alors donc .
La liste des diviseurs de 58 c'est

Par division euclidienne de 59 par 2, on a que 1=59-2x29 alors l'inverse de c'est .

Alors,=30 mod 59, =15 mod 59, = -1 mod 59 donc = 1 mod 59.

L'ordre m de dans le groupe multiplicatif est 58.

4- (Je bloque ici, même si je vois bien comment faire la question, mais pour moi je fais pas du tout ce qui est demandé à la question précédente, si je pouvais avoir un petit coup de pouce merci)

[Ben314]

Salut,

3- Quel est l'ordre de dans le groupe multiplicatif ?
.
.
.
3- Notons l'inverse de
(Ici, je ne comprends pas la question, est-ce qu'on me demande de trouver l'ordre m de l'inverse de dans le groupe ? De plus, au niveau des notations c'est un calvaire, habituellement on note l'inverse de 2 modulo 59 pour notre exercice, mais peut-on parler de l'inverse de la classe de 2 modulo 59 ?)

Ce que je comprend pas, c'est à quoi ça va te servir de considérer l'inverse de 2 lorsque ce qu'on te demande c'est de déterminer l'ordre de de cet élément.
Selon toi, c'est quoi le lien entre les deux (l'inverse et l'ordre) ?
Et sinon, ben j'ai jamais vu personne noter l'inverse de 2. Dans un groupe noté multiplicativement, ça se note , dans un groupe noté additivement, ça se note et dans un contexte "pourri" on peut le noter par exemple (inverse de 2).

[Ncdk]

ça va pas me servir effectivement, en fait ce que je note c'est donc pas l'inverse mais une notation différente pour dire que c'est la classe de 2 modulo 59.
D'ailleurs le lien entre l'inverse et l'ordre je vois pas vraiment, même si quand on cherche l'inverse d'un élément modulo 59 par exemple, on regarde pour le coup à quel puissance cet élément va être congru à 1 modulo 59 (car on est dans un groupe multiplicatif), mais pour l'ordre c'est la même chose non, enfin l'ordre c'est la plus petite puissance pour mon exercice.
Pour en revenir à la question, on me demande simplement de trouver l'ordre de la classe de 2 modulo 59 c'est ça ?

[Ben314]

Pour en revenir à la question, on me demande simplement de trouver l'ordre de la classe de 2 modulo 59 c'est ça ?

Oui et non : sur Z/59Z, y'a deux structures (additive et multiplicative) donc si tu précise pas pour laquelle des deux tu cherche l'ordre, ben ça a pas trop de sens comme question.
Pour l'addition, (donc dans le groupe additif (Z/59Z,+)) l'ordre ça serait 59 car 2+2+2+...+2 (59 fois et c'est le plus petit), ça fait 0, c'est à dire le neutre de (Z/59Z,+).

Par Lagrange, l'ordre du groupe divise le cardinal du groupe, alors donc .
La liste des diviseurs de 58 c'est

Par division euclidienne de 59 par 2, on a que 1=59-2x29 alors l'inverse de c'est .
Alors,=30 mod 59, =15 mod 59, = -1 mod 59 donc = 1 mod 59.
L'ordre m de dans le groupe multiplicatif est 58.
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Sinon, à part ce qui est en bleu qui est inutile (et profondément stupide : quoi que signifie ton 2 avec une barre au dessus, je vois pas trop comment il peut être à la fois égal à [2]_59 et aussi à [30]_59), le reste c'est O.K.

Ensuite, le 4), c'est exactement la même question qu'au 3 : on te demande quand-est-ce que 59 divise 2^n-1, c'est à dire quand est-ce que 2^n est congru à 1 modulo 59 et tu as montré au 3 que c'est lorsque n est un multiple de 58.

[Ncdk]

Le cardinal du groupe déjà c'est \Phi(59)=58. Avec le théorème de Lagrange, le cardinal du groupe divise l'ordre d'un élément du groupe. Donc il faut regarder dans les diviseurs de 58 soit 1,2,29 et 58.
Pour répondre à ta question, l'ordre est soit 1,2,29 ou bien 58.
Maintenant il faut trouver quelle puissance est la bonne, enfin la plus petite puissance qui fonctionne

[Ben314]

J'ai modifié le post précédent : j'avais pas entièrement lu ton premier post qui contentait déjà les réponses (correctes).

[Ncdk]

D'accord merci et niveau notation, je suis un peu perdu, par exemple sur ce que tu as cité, comment je peux avoir des notations propres, je me suis perdu avec la notation avec la barre en fait.

[Ben314]

Ben les notation, soit tu prend celle de l'exo, donc ici pour la classe de 2 dans Z/59Z, soit tu prend celles auxquelles tu es habitués en les rappelant au début de l'exo. pour que ce soit compréhensible pour le correcteur.