Exercice DM maths suite avec expo

[maxoumatheux]

Bonjour a toutes et tous,
Tout d'abord bonne année et meilleurs vœux,
cela fait bientôt 2 jours que je suis coincé sur une question d'un de mes exercices de DM de maths de terminale
Voici l'énoncé : Soit a un nombre réel fixé non nul. le but de cet exercice est d'étudier la suite (Un) définie par :
Uo=a et pour tout n E N , Un+1=e^2Un - e^Un
Soit h la fonction définie sur R par h(x)=e^2x - e^x - x
j'ai trouvé h est supérieur ou égale a 0 pour tout x E R, et que son minimun est 0 en 0. De plus on nous dit que Un+1 - Un = h(Un) donc j'en est déduit que (Un) est inférieur ou égale à 0.
Elle est convergente et Un>ou égale à a. Enfin j'ai démontré que Un+1 - Un >ou égal à h(a).
Je suis coincé a la question : démontrer par récurrence que, pour tout n E N, on a Un >ou égal à a+n*h(a).
Je pense qu'il faut que je me serve de l'inégalité que j'ai trouvé juste au dessus mais je n'arrive pas a trouver quelque-chose de concluant ! Merci de votre aide !!!!

[maxoumatheux]

*Dans cette question on suppose que a>0

[pascal16]

Un+1 - Un = h(Un) donc j'en est déduit que (Un) est inférieur ou égale à 0 ?????

on peut déjà dire que Un+1 - Un >=0, donc Un est croissante, strictement si on n'atteint pas la valeur 0.

Un suite croissante n'a t elle pas tous ses termes supérieurs au premier ?

A la calculette :
si a>0, la suite diverge vers +oo
si a=0, la suite est constante
si a<0, là on peut faire quelque chose pour sa limite, une suite croissante, si tu as montré qu'elle était a valeurs négative converge vers l >=0

[maxoumatheux]

oui est si a=0 la suite est constante et a pour valeur 0 c'est ca ?
mais comment résoudre la récurrence alors ? Un>=a+nxh(a)
merci pour votre reponse rapide

[infernaleur]

Salut,
tu as montré que :

Par l'hypothèse de récurrence on en déduit :

[maxoumatheux]

Donc ca fait ceci si j'ai bien compris ?
On suppose que pour tout n E N, Un >= a + n*h(a)
Initialisation : Uo= a et a>= 0 et a+n*h(a) = a+o*h(a)=a ainsi on a Uo >= a donc la proposition est vérifiée au rang 0
Transmission : Supposons que la proposition soit vraie à un rang k fixé, c'est a dire que Uk>= a + k*h(a)
Montrons alors que la proposition soit vraie au rang supérieur, c'est a dire que Uk+1 >= a + (k+1)*h(a)
On sait que Uk+1>= Uk+h(a) donc par hypothèse de récurrence on en déduit que Uk+1>= a + k*h(a) + h(a)
soit que Un+1 >= a + (k+1)*h(a)
La proposition est vrais au rang supérieur
Conclusion : La proposition est héréditaire et est vérifiée au rang 0 donc pour tout n E N, Un >= a + n*h(a)
Merci pour vos retours !!

[infernaleur]

Désolé de répondre aussi tard, mais oui c'est bien ça.
(par contre je ne savais pas qu'on utilisé le terme transmission maintenant )

[maxoumatheux]

Merci beaucoup ! Et oui soit transmission soit hérédité on nous apprend les deux
Et maintenant si je veux trouver la limite de ma suite (Un) quand a>=0 est ce qu'on peut dire que la limite de a + n*h(a) quand n tend vers + l'infini est plus l'infini et donc par comparaison que lim Un quand n tend vers + l'infini = + l'infini ?