Anneaux à 4 éléments

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Bonsoir à tous;

J'ai une question : combien y a-t-il d'anneaux commutatifs (et unifères) à 4 éléments ?

J'ai plus ou moins la réponse mais il me manque beaucoup d'éléments.

On va s'intéresser à la caractéristique de A. Elle peut être de 2 ou 4.

1) Si la caractéristique de A est 4, F4 est inclus dans A donc A=F4
par le morphisme :
F4 ---> A
k |---> k 1_A

2) Si la caractéristique de A est 2, on peut dire que F2 est inclus dans A mais A est-il forcément un F2-espace vectoriel ?

Ensuite, A est-il forcément le quotient de F2[X] par l'idéal engendré par un polynôme irréductible de degré 2 ?

Si oui, j'imagine qu'il faut lister tous les polynômes Q de degré 2 de K[X] et quotienter F2[X] par (Q).

L'idée est d'avoir la certitude d'avoir bien trouvé tous les anneaux à 4 éléments, et pas de les sortir de son chapeau Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Sans regarder de prés, ça me semble correct, sauf le fait que le polynôme soit forcément irréductible (à moins que tu ne demande à ton anneau d'être intègre).

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Merci Ben. En effet, j'ai fait une erreur, il faut quotienter avec tous les polynômes de degré 2.

Parmi les questions que j'ai posées il y en a où je n'ai pas vraiment la réponse :

i) Pourquoi, si la caractéristique d'un anneau est 2, l'anneau est-il forcément un F2-espace vectoriel ?
Il faut vérifier à la main tous les axiomes, ou il y a une explication plus simple ?

ii) Pourquoi un anneau de caractéristique 2 ayant 4 éléments est forcément le quotient de F2 par un polynôme de degré 2 ? Comment est-on sur d'obtenir tous les anneaux ?

[Ben314]

"Tout les axiomes", c'est un grand mot : vu que ton truc est un anneau, c'est en particulier un groupe additif donc de ce coté là, y'a rien à vérifier.
Et concernant la multiplication "externe", comme tu la définie comme étant en fait la multiplication interne par les éléments de l'anneau de la forme 1+1+1+...+1, ben y'a pas grand chose à vérifier vu que tout les trucs du style lambda.(x+y)=lambda.x+lambda.y, ça résulte de la distributivité dans l'anneau.
Bref, une fois que tu as vérifié que dans ton anneau tu as 1+1=0, ce qui signifie que tu as une bijection de Z/2Z sur {0,1} (contenu dans l'anneau), ben c'est que ton anneau, c'est un Z/2Z espace vectoriel.

Sinon, je pense que tu as bien tout les anneau possible avec les quotients de Z/2Z[X] par un polynôme de degré 2 car les 4 éléments de ton anneau sont forcément 0 , 1 , A et A+1 avec l'addition usuelle (de Z/2Z) et le quand au produit, il est entièrement défini par la connaissance de A^2.

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C'est moins simple que ce que je pensais pour ma question ii)
J'espérais que ça se généralisait, et qu'on pouvait trouver, par exemple, tous les anneaux à 27 éléments en quotientant Z/3Z par des polynômes de degré suffisamment grand.

En fait il faut cuisiner un peu :

Si un anneau à 4 éléments est de caractéristique 2, c'est un F2-espace vectoriel.
C'est un F2-espace vectoriel de dimension 2.
SI une base est (1, a) (une base obtenue en complétant la base ( 1 )), ses éléments sont 0, 1, a, et a+1

Jusque là je te suis.

En ce qui concerne l'addition, les cas non triviaux sont :
1+(a+1) = 1+1+a = 0+a = a
a+a = 2a = 0a = 0
(a+1)+(a+1) = 2(a+1)=0

Tous les anneaux à 4 éléments ont la même table d'addition.

Pour la multiplication, si on connait a^2,
a(a+1) = a^2 + a
(a+1)(a+1) = a^2 + 2a + 1 = a^2 + 1

Les 4 anneaux à 4 éléments ne différeraient que par la valeur de a^2 ? Intéressant !
Ca veux dire que si on a trouvé 4 anneaux différents, on les a tous trouvés.

Si j'ai bien tout compris...

[Ben314]

Oui, c'est à peu près ça : l'addition, y'a rien à dire vu qu'elle est donnée par la structure de Z/2Z e.v. mais par contre la multiplication, il y a plusieurs possibilités.
Mais attention, il est possible que plusieurs de ces possibilités donnent en fait le même anneau (à isomorphisme près) vu que parmi les deux éléments autre que 0 et 1 de A, il y a deux possibilités pour qui on prend pour compléter la base.
Par exemple, si on prend a^2=0 alors (a+1)^2=1 ce qui signifie que de prendre a^2=0 ou a^2=1, ça donne le même anneau à isomorphisme près.
Par contre, si on prend a^2=a alors (a+1)^2=a+1 et de même, si on prend a^2=a+1 alors (a+1)^2=a=(a+1)+1
Bref, il y a 3 (et pas 4) anneaux à 4 éléments de caractéristique 2
Ou, si tu préfère, Z/2Z[X]/(X^2) et Z/2Z[X]/(X^2+1) sont isomorphe, ce qui est normal vu que l'application X->X+1 est un isomorphisme de Z/2Z[X] sur lui même qui envoie X^2 sur X^2+1.

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Ok merci Ben.
J'essaie de généraliser la méthode mais ça ne donne pas grand chose.

Un anneaux commutatif d'ordre 81.
Sa caractéristique est 3, 9, 27 ou 81
Ce sera donc :
- un F3-espace vectoriel de dimension 4
- un F9-espace vectoriel de dimension 2
- un F81-espace vectoriel de dimension 1
En quotientant il y a moyen de trouver beaucoup d'anneaux d'ordre 81
Les a-t-on tous ? Je n'en suis pas sur du tout.

Un anneaux commutatifs d'ordre 60
Sa caractéristique sera 2, 3, 4 ou 5
Est-ce un espace vectoriel sur un corps fini ? Ce n'est pas clair, et je ne le pense pas...
Peut-on obtenir un anneau d'ordre 60 en quotientant un anneau de polynomes par un idéal ? Pas sur non plus...

[Ben314]

Non, là, ça déconne complet :
La "caractéristique" d'un anneau A (si tant est que ce soit une notion vraiment utile), c'est l'entier naturel n tel que Z/nZ soit le noyau de l'unique morphisme de Z->A tel que 1_Z -> 1_A.
Bref, c'est la plus petit n tel que 1_A+1_A+...+1_A (n fois) soit égal à 0_A.
Déjà, si tu suppose pas l'anneau intègre, ben y'a aucune raison que cette caractéristique soit un nombre premier, ni même une puissance d'un nombre premier (la caractéristique de l'anneau Z/6Z, ben c'est évidement 6).
Ensuite, si la caractéristique c'est 9, ça veut dire que ton anneau, c'est un Z/9Z module (et pas un espace vectoriel vu que Z/9Z, c'est pas un corps) et Z/9Z, c'est pas du tout F_9 (qui lui est un corps à 9 éléments et de caractéristique 3).
Bref, si tu veut généraliser, il faut passer au cadre des modules et pas à celui des espaces vectoriels et ça change des tonnes de trucs, en particulier le fait qu'un module, c'est pas forcément libre, c'est à dire qu'un module M sur un anneau A, c'est pas forcément isomorphe à A^n, même si M et A sont finis.
Pour te donner un exemple avec des anneaux, prend A = Z/3Z x Z/9Z muni de l'addition et de la multiplication "terme à terme". Le neutre multiplicatif, c'est (1,1) et la caractéristique, c'est 9 (il faut faire (1,1)+(1,1)+... neuf fois pour tomber sur (0,0)) or, très clairement, tu n'a pas de base Z/3Z x Z/9Z en temps que Z/9Z module (ne serait ce que du fait que le cardinal est 27 qui n'est pas une puissance de 9).
Et bien sûr, il n'y a absolument aucune possibilité de définir une structure de F_9 espace vectoriel sur A : déjà au niveau de la cardinalité, ça coince et en plus, comme F_9 est de caractéristique 3 et que A est de caractéristique 9, ça fait une deuxième objection majeure.

En résumé, ce type de raisonnement, ça pourrait éventuellement marcher, mais il faut absolument supposer que ton anneau est intègre (ce qui va impliquer que sa caractéristique est un nombre premier)

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C'est vrai la caractéristique c'est surtout pour les anneaux intègres (Dans notre cours cela n'a pas même pas été défini pour les anneaux non intègres).

Les modules et Z-modules, je vois à peu près ce que c'est mais c'est totalement en dehors du programme de l'agreg, et je n'ai vraiment pas les moyens de faire du rab...

Par contre, au départ, mon anneau commutatif à 4 éléments, j'ai parlé de sa caractéristique, c'était déjà en dehors des clous, à moins de généraliser à tout anneau (unifère quand même) et en effet, aucune raison dans ce cas pour que ce soit un nombre premier.

Dans ce cas on peut juste dire que la caractéristique est un diviseur de l'ordre du groupe (par Lagrange puisque c'est l'ordre de dans le groupe . Et en effet, c'est forcément 2 ou 4.

On peut montrer ensuite comme tu l'as fait que c'est un -espace vectoriel dans le premier cas, et que c'est dans le second.

Merci beaucoup pour tous ces éclaircissements

[Archytas]

1) Si la caractéristique de A est 4, F4 est inclus dans A donc A=F4

Salut,
Je n'ai pas tout lu donc mes excuses si c'est déjà corrigé plus haut. Attention aux notations:
Souvent désigne "le" corps à 4 éléments qui est de caractéristique 2 et non 4. J'imagine que par F4 vous voulez dire , et là, tout marche.

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Oui en effet, merci Archytas !

Dans mon cours, on n'a même pas le droit de parler de caractéristique si l'anneau n'est pas integre.

Je ne sais pas pourquoi, en général cette année mes profs adorent nous donner des définitions hyper générales (même si on n'étudie finalement que des cas très particuliers), en l'occurence le prof a un peu fait le contraire.

Merci pour la précision