Det(A+B)=det(B)
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dilzydils
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par dilzydils » 02 Nov 2006, 11:06
bonjour
Si A est une matrice nilpotente et B une matrice telle que AB=BA.
Il faut mq det(A+B)=det(B). et j'y arrive pas. :help:
Merci
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mathador
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par mathador » 02 Nov 2006, 11:11
Bonjour
sans avoir cherché la solution, un rélfexe me vient devant ton énoncé : si A et B commutent, on peut utiliser le binôme de Newton. Le fait que A soit nilpotente pourrait bien rendre cela intéressant ... je ne sais absolument pas si ça fonctionne, mais à mon avis ça vaut le coup d'essayer de s'en tirer avec ça !
Et si t'as pas de chance, je t'ai filé une fausse piste :we:
Amicalement
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jose_latino
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par jose_latino » 02 Nov 2006, 12:29
dilzydils a écrit:bonjour
Si A est une matrice nilpotente et B une matrice telle que AB=BA.
Il faut mq
. et j'y arrive pas. :help:
Merci
Si
n'est pas inversible, il faut montrer que
n'est plus inversible. Si
est inversible il suffit de montrer le résultat pour le cas
, car
, car
est encore nilpotente. Mais c'est possible démontrer que pour une matrice nilpotente
, il existe une matrice triangulaire supérieur (ou inférieur) équivalente à
telle que sa diagonale soit nulle. Alors
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Vedeus
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par Vedeus » 02 Nov 2006, 12:56
Si les matrices sont à coefficients complexes, il suffit de
trigonaliser simultanément les matrices A et B.
Sinon, on peut toujours se plonger dans un extension du corps de base
pour laquelle le polynôme caractéristique de A est scindé.
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dilzydils
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par dilzydils » 02 Nov 2006, 14:18
Vedeus a écrit:Si les matrices sont à coefficients complexes, il suffit de
trigonaliser simultanément les matrices A et B.
Ah oui c'est vrai, 2 matrices trigonalisables qui commutent sont forcement cotrigonalisables...
Mais au fait, comment ca se demontre ce truc??
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Vedeus
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par Vedeus » 02 Nov 2006, 14:28
dilzydils a écrit:Ah oui c'est vrai, 2 matrices trigonalisables qui commutent sont forcement cotrigonalisables...
Mais au fait, comment ca se demontre ce truc??
On commence par prouver l'existence d'un vecteur propre commun
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