TAA=AtA

[gaia38]

Bonjour, (et bonne année tant qu'à faire)
Je bloque ce matin sur un point tout à fait insignifiant de mon cours au sujet de la caractérisation des matrice orthogonales.

On a défini une matrice orthogonale M, à partir de l'application de R^n qui à X associe MX tel que cette application soit un endomorphisme orthogonal et on prouve ensuite les autre équivalences.

Seulement on a rapidement expédié les trois équivalences suivantes car M est carrée:
1. tMM=Id
2. M tM = Id
3. Inverse de M = tM

...en disant que le coefficient i,j de M tM est et que de ce fait c'est le même que le coefficient i,j de tMM
or si je ne me trompe ce dernier est qui n'a aucune raison d'être égal au précédent non?

cela m'embête énormément cela semble trivial puisque développé dans aucun cours, j'aimerais comprendre.
a-t-on la relation tMM = M tM pour toute matrice carrée?

[aviateur]

Bonjour vérifie sur un exemple!!
M=

[gaia38]

D'accord ça ne marche pas (je m'y attendais) mais alors comment montrer l'équivalence? Parceque c est expliqué nulle part ça semble évident mais moi jr ne vois pas...

[pascal16]

M n'est pas n'importe quelle matrice, c'est une matrice orthogonale.
c'est cette propriété qui permet de tout faire simplement, le démo doit donc commencer par l'application de la définition de l’orthogonalité de la matrice ou d'une propriété déjà démontrée.
Pour la démo, je suis trop rouillé.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_orthogonale

[Pseuda]

Bonjour et bonne année 2018 !

Ce n'est pas expliqué parce que c'est évident :

De manière générale, dès que l'on a AB=Id, alors on a BA=Id (c'est un cas où le produit est commutatif). Et AB =Id ssi A=B^(-1). Il ne reste plus qu'à l'appliquer aux matrices M et tM.

Grillée par pascal16, je laisse.

[gaia38]

D'accord, merci beaucoup je vais essayer de démontrer ça alors

[Pseuda]

Pour t'aider : si AB=I, alors A est la matrice d'un endomorphisme bijectif (car de déterminant non nul), donc A est inversible. On a alors A^(-1)AB = B = A^(-1). Donc BA=I.

[gaia38]

Ah parfait, je te remercie maintenant mon cours ne me pose plus aucun problème !