Nilpotence et rang

[dilzydils]

Bonjour

Je dois demontrer que pour un endomorphisme u de E de dim n
u^(n-1)<>0 ssi rg(u)=n-1.

merci pour votre aide

[yos]

Si le symbôle <> signifie "différent de", alors le résultat est faux (autant le "si" que le "seulement si").
Alors... soit il manque des hypothèses, soit le symbôle <> veut dire autre chose...

[dilzydils]

Ah oui :briques: desolé
u est nilpotente...
et le symbole signifie bien different de

[yos]

La suite des rg(u^k) est strictement décroissante (jusqu'à ce qu'elle soit nulle). En effet, si u^k et u^(k+1) était de même rang non nul, l'endomorphisme u induirait un isomorphisme sur Imu^k ce qui est clairement incompatible avec la nilpotence. A partir de là les deux implications que tu dois prouver sont assez faciles.

[dilzydils]

si j'ai compris ton raisonnement,

rg(u)=n-1, donc rg(u^2)=n-2,..., rg(u^(n-1))=1 donc u^(n-1)<>0.

OK la suite est strictement decroissante mais pourquoi decroitrerait elle de 1 en 1 i.e qui ns dit que rg(u^2) n'est pas egal à n-5??

[yos]

Ce que j'ai dit est vrai dés que u est nilpotent. Pour le reste, il faut montrer les deux sens de l'implication et à chaque fois on aura une hypothèse de plus.

1) Supposons u^(n-1) non nul. Alors la décroissance se fait de un en un au minimum et au bout de n-1 étapes, on n'est pas encore à 0 par hypothèse, donc le rang de u est au moins de n-1. Il n'est pas de n pour des raisons évidentes.

2) Supposons rg(u)=n-1. Le noyau de u est de dimension 1, donc le noyau de la restriction u' de u à Imu est de dimension 0 ou 1. C'est pas 0 (sinon u' bijectif), donc c'est 1. Ainsi u(Imu) (c'est-à-dire Imu²) est de dimension n-2. et ça continue ainsi. Voilà pourquoi on descend de un en un.