Exercice sur la fonction cube d'un DM

[Calie31]

Bonjour à tous
J'ai un DM à rendre à la rentrée le 8.01 mais j'ai du mal avec le 3eme exercice qui est sur la fonction cube. Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x^3 et C sa représentation graphique dans le plan.
1. Soit a et b deux réels tels que a<b.
a. Montrer que : f(a)-f(b) = (a-b)(a^2+ab+b^2).
b. Montrer que : a^2+ab+b^2 =(a+1/2b)^2+3/4b^2.
c. En déduire le sens de variation de f sur R.
2. Pour x réel, comparer f(x) et f(-x). Que peut-on en déduire pour C ?
3. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection de la courbe C et de la droite D d'équation y=x.
La dernière question nous demande de tracer les deux courbes C et D dans un repère, je n'ai donc pas besoin d'aide (à part pour être sûre que la fonction associée à D est bien f(x)=x..?).
J'ai réussi à répondre à la 1ere question (que j'ai validée en cherchant sur internet), mais je ne suis pas sûre de ma réponse à la 2 et je bloque pour la 3. Voici ma réponse à la question 2 :
f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)
f(-x) est donc l'opposé de f(x)
C est symétrique par rapport à l'origine du repère et par rapport aux axes du repère.
Merci d'avance de votre aide.

[infernaleur]

f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)
f(-x) est donc l'opposé de f(x)
C est symétrique par rapport à l'origine du repère et par rapport aux axes du repère.

Salut,
si f(-x)=-f(x) cela veut dire que ta fonction est impaire, et donc oui en effet la courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère (tu peux le vérifier sur la représentation graphique)

Ce que j'ai souligné en rouge c'est juste mais ce que j'ai souligné en bleue c'est faux, dans la représentation graphique de ton sujet tu vois bien que la courbe n'est pas symétrique par rapport à l'axe des abscisses et l'axe des ordonnée ?

[Calie31]

Merci de ta réponse, oui effectivement je me suis trompée elle n'est pas symétrique par rapport aux axes. Seulement nous n'avons jamais vu en cours une fonction paire ou impaire, ce ne doit pas etre au programme de premiere S.
Pourrais tu m'aider pour la question 3 ?

[infernaleur]

En effet, c'est en terminale S que l'on voit sa,
pour la 3) :
On veut voir quand est-ce que la courbe C (d'équation y=x^3) et la droite D (d'équation y=x) se croisent, il suffit donc de résoudre x^3=x.

[Calie31]

C'est ce que j'ai essayé de faire mais je n'y arrive pas. As tu une piste pour résoudre cette équation ?

[infernaleur]

C'est ce que j'ai essayé de faire mais je n'y arrive pas. As tu une piste pour résoudre cette équation ?

[Calie31]

Ok merci je vais voir ce que je peux faire avec ça.

[Calie31]

Voici mon résultat :
x^3 - x = 0
<=> x(x^2-1) = 0
<=> x(x-1)(x+1) = 0 (3eme identité remarquable)
<=> x=0 et x-1=0 et x+1=0
<=> x=1 et x= -1
Donc les points d'intersection des deux courbes sont A(1;1), B(-1;-1) et l'origine (0). C'est ce que j'avais trouvé en regardant sur la courbe tracée par ma calculatrice.

[infernaleur]

Voici mon résultat :
x^3 - x = 0
<=> x(x^2-1) = 0
<=> x(x-1)(x+1) = 0 (3eme identité remarquable)
<=> x=0 ou x-1=0 ou x+1=0 c'est des ou ici et pas des et
<=> x=0 ou x=1 ou x= -1
Donc les points d'intersection des deux courbes sont A(1;1), B(-1;-1) et l'origine (0). C'est ce que j'avais trouvé en regardant sur la courbe tracée par ma calculatrice.

Oui sinon c'est juste.

[Calie31]

Merci bcp de ton aide

[infernaleur]

Merci bcp de ton aide

De rien, et à bientôt sur le forum !