Sur les tribu

[klaimouad]

Salut , cet exercice me bloque

soit f une application de R dans R
posons et

1°) montrer que A=B
2°) en déduire que avec la tribu borélienne sur R

[Elias]

Essayons un peu de traduire tout ça.
Déjà, il y a une petite faute car dans ton intersection, tu mets des k au lieu de q.
Perso, j'aurais.mis des n, ça me semble plus clair mais on va rester avec q.

Prenons l'inclusion A inclus dans B pour commencer.

Soit a dans A. C'est à dire, soit un réel a tel que f est continue en a.
On veut montrer que a appartient à B.



Dire que a appartient àB signifie que: pour tout q dans N*, il existe un rationnel r tel que a soit dans l'intérieur de f^(-1) [ r -1/q ; r+1/q].

Cela signifie encore si tu préfères que pour tout q dans N*, il existe un rationnel r et un tel que

Ou encore, si tu préfères, cela signifie que pour tout q dans N*, il existe un rationnel r et un tel que

Soit q dans N* (n'importe lequel).
Comme f est continue en a, on peut dire qu'il existe tel que que pour tout x réel, si alors


Essaie maintenant de prendre un rationnel suffisament proche de f(a) [par densité de Q dans R] et essaie de conclure.

L'autre sens est idem. On peut même raisonner directement par double.inclusion.


La question 2 est du coup immédiate...

[klaimouad]

Merciii beaucoup pour l'autre inclusion comment je peut montrer que f(a) est proche du r qui va satisfaire que a est dans B

[Elias]

Pour l'inclusion A dans B ?

Tu prend un rationnel r tel que
Ainsi, lorsque x est dans on a :



Ce qui prouve que a est dans B.

[Elias]

Tu posais la question pour la réciproque sûrement,? On suppose que a est dans B.

Comme pour tout, cela signifique que pour tout il existe rationnel tel que

On prend maintenant

Soit q assez grand tel.que On
a alors


On prend ensuite le tel que


Si x est dans on a alors :



Ainsi, f est continue en a donc a est dans A.

Sauf erreur.

[klaimouad]

merci beaucoup