Question en topologie

[klaimouad]

soit X un espace ordonné
1°) comment montrer que si alors pour que je puisse montrer que est une topologie sur X

2°) soit , déterminer . La topologie est-elle séparé ?

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, tu est absolument pas dans la bonne section pour poser ce type de question.
Ensuite, prenons un exemple archi. super compliqué : X={1,2,3} (ordonné de la façon usuelle, c'est à dire 1<2<3)
Avec un tel X, n'y a que 2^3=8 parties de X donc tu aura rapidement fait le tour pour voir lesquelles sont dans et lesquelle n'y sont .
Donc... tu va commencer par me donner la liste complète des parties A qui sont dans (pour ce X là)
(et on verra après ce qu'il en est de ton exo. dans le cas général d'un X quelconque)

[klaimouad]

Salut ,
je pense que

(je suis nouveau dans ce forum , je ne sais pas où je dois exactement poser ce genre de questions , je m'adapter avec le temps )

merci Ben314

[klaimouad]

ce que je vois c que X\{3} n'appartient pas a tau mais l'exrcice dit que tau est une topoloogie (si tau que j'ai donner ci dessus est vrai )

[Ben314]

Si X={1,2,3} alors l'ensemble des parties de X, c'est
P(X)={ , {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3} }
Et la définition que tu as de , ce qu'elle dit, c'est qu'une partie A est dans à condition que lorsque cette partie contient un certain élément x, elle contient aussi tout les y plus grand que x. Donc ={ , {3} , {2,3} , {1,2,3} }
Et ce que tu constate, ben c'est que le complémentaire X-A d'un élément A de , ben c'est pas un élément de . Par exemple X - {3} = {1,2} n'est pas dans .
Et c'est on ne peut plus "cohérent" avec le fait que définisse une topologie (i.e. soit l'ensemble des ouverts d'une certaine topologie) vu que le complémentaire d'un ensemble ouvert, ben ça a aucune raison d'être ouvert (et la plupart du temps ça ne l'est pas).

Donc.... un rappel...
Un ensemble de parties d'un espace X défini une topologie (via les ouverts) sur X lorsque :
1) L'ensemble vide et X sont dans
2) L'intersection de deux éléments de est un élément de (ce qui implique que toute intersection finie d'élément de est dans )
3) Toute réunion (finie ou infinie) d'élément de est dans .

[klaimouad]

Merci beaucoup , j'ai confondu la topologie avec la tribu( je lises la topologie et la théorie de mesure en parallèle et pour la première fois ). pouvez vous m'aider pour la deuxième question ?

[Ben314]

Quand tu sait pas par quel bout partir, prend systématiquement un exemple pour voir de quoi il retourne.
Dans le cas de X={1,2,3}, c'est quoi l'adhérence du singleton {2} ? son intérieur ? l'adhérence de son intérieur ?
(évidement je prend 2 pour ne pas choisir un élément "un peu spécial" : 1 est le plus petit de tous et 3 le plus grand de tous)

Sinon, dans le cas général, pour adh({x}) : vu que c'est les ouverts qu'on connait (c'est les éléments de ) ça semble plus que logique de chercher le complémentaire U de adh({x}) qui lui est le plus grand ouvert disjoint de {x}, c'est à dire ne contenant pas x.
Il ne peut pas contenir non plus d'élément plus petit que x sans quoi, vu qu'il est ouvert, il devrait aussi contenir x (définition de ). Jusque là, le candidat, c'est donc de prendre pour U tout le monde sauf les éléments inférieur (ou égaux) à x. Est-ce un ouvert ? Est-ce le plus grand ouvert disjoint de {x} ? (pourquoi) Qui est adh({x}) ?

Idem pour les deux autres.

[klaimouad]

adh({x}) = (complementaire de (ensemble vide) = x ?

[Ben314]

adh({x}) = (complementaire de (ensemble vide) = x ?

??????

[klaimouad]

je voulais écrire adh({2}) = {1,2,3}\{ensemble vide = le plus grand ouvert disjoint de {2}} =X(={1,2,3}) cela est-il correct ?

[Ben314]

je voulais écrire adh({2}) = {1,2,3}\{ensemble vide = le plus grand ouvert disjoint de {2}} =X(={1,2,3}) cela est-il correct ?

Je comprend rien à ce que tu écrit.
Des parties dans X, y'en a 8 et c'est tout (à savoir , {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} et {1,2,3}=X) et je vois franchement pas à quoi correspond ton {1,2,3}\{ensemble vide

Et pour ce X là, vu que les seuls ouverts c'est , {3} , {2,3} et {1,2,3}, ben les ouvert qui sont disjoint de {2} c'est et {3} et le plus grand ouvert disjoint de {2} c'est {3}.
Donc le complémentaire de l'adhérence de {2}, c'est {3} et ça signifie que l'adhérence de {2} c'est le complémentaire de {3}, c'est à dire {1,2} : adh({2})={1,2}

Autre méthode : Les fermés de X, c'est les complémentaire des ouverts.
Donc les fermés, c'est {1,2,3} , {1,2} , {1} et et le plus petit fermé contenant {2}, c'est {1,2}.

[klaimouad]

Mercii boucoup ! bon noel !