Un Théroème de point fixe

[Viko]

Bonjour,

il s'agit de montre que pour toute applications continues f et g définit sur [0,1] à valeur dans [0,1] si alors
j'ai essayé de considérer la suite définit par avec un point fixe de f et par récurrence immédiate est une suite de point fixe de f ainsi càd je pensais ensuite conclure avec le th de B.W. mais cela ne fonctionne pas tout à fait...
un peu d'aide sur comment poursuivre ne serait pas de refus

[Ben314]

Salut,
Il y a sans soute plus simple, mais tu peut procéder comme ça (ce qui est très proche de ce que tu as fait) :
1) L'ensemble F des point fixes de f est non vide.
2) Si x est dans F alors g(x) aussi.
3)a) Si pour tout x de F on a g(x)>=x alors il existe un a dans F tel que g(a)=a
3)b) Si pour tout x de F on a g(x)<=x alors il existe un b dans F tel que g(b)=b
3)c) S'il existe a et b dans F tel que g(a)>a et g(b)<b alors il existe c entre a et b (pas forcément dans F) tel que g(c)=f(c).

Remarque : Là où tu aurais du te rendre compte que ta méthode déconne (donc doit être "adaptée"), c'est que si ça marchais tel quel, ça prouverais qu'il existe un point fixe commun à f et g alors que ce n'est pas toujours vrai.

[aviateur]

Bonjour
Je propose cette autre démonstration par contradiction:
Alors on peut supposer (grâce aux hypothèses):
Donc pour tout x dans [0,1]. En particulier pour un point fixe de f d'où la contradiction. c.q.f.d

[Ben314]

...
Donc pour tout x dans [0,1]...

Y'a un truc qui m'échappe là...

[aviateur]

Oui effectivement!!
mais on peut peut-être continuer le raisonnement
pour tout x on a ( =g rond g)
En particulier si x est un point fixe de f on a
Mais alors est aussi un point fixe de f et le même raisonnement par récurrence
donne
On a alors une suite de points fixes de f décroissante, minorée par 0 qui converge donc vers un nombre a qui est un point fixe de f mais aussi un point fixe de g....

[aviateur]

Ce problème soulève une autre question: si on suppose que f et g (bien sûr) ne sont pas identiquement égaux à l'identité:
Comment montrer l'existence de telles fonctions.
Maintenant si elles existes, y-a -il des liens entre les points fixes de f et de g?

[Ben314]

Le cas de loin le plus simple et celui où tu prend pour h une fonction quelconque (continue) de [0,1] dans lui même et tu prend pour f et g des itérés de h : tu aura clairement fog=gof, mais effectivement f et g auront forcément (au moins) un point fixe communs, à savoir un point fixe de h.

[aviateur]

Ok merci ben

[Elias]

Remarque : Là où tu aurais du te rendre compte que ta méthode déconne (donc doit être "adaptée"), c'est que si ça marchais tel quel, ça prouverais qu'il existe un point fixe commun à f et g alors que ce n'est pas toujours vrai.

Aurais-tu un exemple où f et g n'ont pas de point fixe commun ? J'ai l'impression que c'est toujours le cas...

Ps: quand on dit que f: [0,1] -> [0,1], ça suppose que f est surjective de [0,1] dans [0,1] ? Ou que l'ensemble d'arrivée de f est inclus dans [0,1] ?

[Ben314]

Aurais-tu un exemple où f et g n'ont pas de point fixe commun ? J'ai l'impression que c'est toujours le cas...

Ben....
Au départ, ça me semblait évident qu'il y avait pas forcément de point fixe commun, sauf que j'ai pas trouvé de contre exemple et j'ai pas trouvé non plus de preuve qu'il y en a forcément au moins un...
Bilan : pour le moment, j'en sais rien... (et la question est intéressante...)

Ps: quand on dit que f: [0,1] -> [0,1], ça suppose que f est surjective de [0,1] dans [0,1] ? Ou que l'ensemble d'arrivée de f est inclus dans [0,1] ?

Lorsque l'on écrit f:A->B (f va de A dans B), ça veut dire que pour tout x de A, f(x) est un élément de B, mais ça ne signifie absolument pas que tout les éléments de B sont atteint (i.e. ça ne signifie pas du tout que f est surjective).
Et ce qu'on appelle "l'ensemble d'arrivé de f", c'est le B en question et c'est pas f(A) qui lui s'appelle "l'image de A par f" (ou bien directement "l'image de f" dans le cas de l'algèbre linéaire).
Bref, si f: [0,1] -> [0,1] alors "l'ensemble d'arrivé" de f, c'est [0,1] et ça ne signifie pas du tout qu'elle est surjective.

[Elias]

Ok, très bien.


Pour ce qui est du premier message de Viko, il me semble que l'on peut poursuivre son raisonnement en raisonnant par l'absurde. On suppose par l'absurde qu'il n'existe pas de x dans [0,1] tel que f(x)=g(x).
Alors, par continuité de f et g, on en déduit que g-f est soit strictement positive sur [0,1], soit strictement négative sur [0,1].

En reprenant la même suite (un) définie par Viko, on a pour tout n :
u(n+1) - u(n) = g(un) - un = g(un) - f(un) car les termes u_n sont tous des points fixes de f.

Cette suite est donc strictement monotone vu que g-f est de signe constant et vu que les termes u_n sont bien dans [0,1].

Cette suite est en + bornée donc elle converge vers un réel l. La suite (u(n-1)) converge aussi vers l.

En passant à la limite dans l'égalité f(un) = g(u(n-1)) on aboutit à f(l)=g(l), ce qui est contradictoire.

Fin de la démo.

Remarque supplémentaire :
On a de plus f(l)=l à cause de la continuité de f et l'égalité f(un)=un valable pour tout n.
Donc f(l)=g(l)=l.


Bien sûr, ceci ne prouve pas que f et g ont un point fixe commun (ce n'est qu'un raisonnement par l'absurde, on a eu une contradiction et basta et puis la conclusion f(l)=g(l)=l a été obtenue à partir d'une hypothese fausse manifestement...).

Mais c'est ceci qui me pousse à penser qu'il est possible que f et g ont un point fixe commun.

Dans la réalité, on ne peut pas dire que g-f a un signe constant à partir du simple fait que f o g = g o f donc on ne peut pas " adapter cette preuve".

[aviateur]

Bonjour Trident 2 si tu regardes bien ta démonstration, c'est la mienne.
Quant à l'existence d'un point fixe commun cela reste une conjecture.
Ou alors c'est vrai et il faut le démontrer ou alors c'est faux et il faut donner un exemple.

[Viko]

Merci à tous pour vos réponse je vais assurément pouvoir conclure avec tout ça !
reste mnt à répondre à la conjecture apparu pdt la résolution..
Pour ma part je pense que les fct continues de [0,1] dans [0,1] tq sont trés "rares", je n'ai pas trouvé d'autre exemple à par le cas trivial ou f= g ou bien lorsque f et g sont des itérées du troisième fonction et dans ces deux cas elles ont bien un point fixe commun ! reste à prouver que se sont bien les seuls configurations possibles...