Série

[Maneeeel]

bonsoir , je n arrive pas a etudier la serie de terme general
((-1)^n ) sin(ln(n)) le tout sur n

[Ben314]

Salut,


Donc, avec (T.A.F.) et, ça permet de conclure.

[Pseuda]

Bonsoir,

Sinon, en utilisant la transformation d'Abel : il faut montrer que la suite des sommes partielles de la série de terme général (-1)^n*sin(ln n) est bornée.

[pascal16]

Je trouve cette série intéressante.
Si on veut la transformer en une série alternée, le fait que ln(n) soit de plus en plus 'plate' donne que si on regroupe par paquets de même signe les sin(ln(n)), les termes alternés sont de plus en plus grands, et même divisés par n, rien n'est évident (ça doit être comme du (-1)^n.2^n/n! ).

[Ben314]

A mon sens (et comme d'habitude...), le problème c'est de comprendre que c'est pas parce qu'une série a un terme général "contenant" du (-1)^n que ça signifie que c'est forcément malin de vouloir utiliser le critères des séries alternées.
Là, par exemple, c'est "caricatural" : si on essaye d'utiliser le critère, on y est encore dans 50 plombes avec des calculs abominables alors que si on reste bien plus "terre à terre" en regroupant bètement les termes 2 par 2, ben le résultat est immédiat et on conclue à la convergence en une ligne.

Bref, un critère, c'est un critère, rien de plus, et c'est pas une "recette magique" qui marcherais à tout les coups...

[Pseuda]

Bonjour,

Pour utiliser Abel, on peut faire .

tend vers 0 en décroissant.

Pour la 2ème fraction, on ajoute (comme fait Ben314) les termes 2 par 2 et avec le T.A.F. : , de signe constant, dont la série converge, donc bornée.

Bof, ne donne rien de plus, autant faire directement.

Sinon, @pascal16, pour utiliser le critère des séries alternées, il faut que soit de signe constant (et comment regrouper par paquets de même signe) ?

[pascal16]

J'essayais de visualiser les comportement de : sin(ln(x))
Quand n est grand, en regroupant les termes de même signe, on peut imaginer 100 termes successifs positifs, puis 101 termes négatifs puis 104 termes positifs, et encore 110 positifs...
Les paquets de termes de même signe contiennent de plus en plus de termes et sont en valeur absolue de plus en plus grand.
On se rapproche d'une série du genre 1-2+3-4+5-6...

La convergence est assurée par la division par n qui transforme la série en un truc du genre : 1-1/2+1/3-1/4... en moins rapide.

On peut alors se demander quelle est la puissance minimale de n à avoir au dénominateur
Un tout petit peu en dessus 1/2 d'après l'équivalent de Pseuda.

[Ben314]

On peut alors se demander quelle est la puissance minimale de n à avoir au dénominateur
Un tout petit peu en dessus 1/2 d'après l'équivalent de Pseuda.

Si c'est la C.V. de la série te de terme général qui t'interesse, ben c'est exactement la même chose que celle de départ, à savoir que d'utiliser un quelconque critère, ça rallonge (notablement) et en plus, ça risque de donner des condition pas optimales.
Alors que de nouveau, le calcul "bébète" consistant uniquement à écrire que avec permet de conclure :

Donc la série converge pour tout (et pas seulement pour ) et c'est même clairement une équivalence vu que la série diverge grossièrement pour .

[pascal16]

merci

[roni]

Salut tous, il s'agit d'un cas particulier, car la derivee de ln(x) est , si le terme à l'intérieur du sin etait par exemple cos ou une autre fonction, je ne pense pas que le TAF marche, ex la serie :

[pascal16]

Raisonnement purement de ma visualisation des mathématiques pour la série de Roni :
statistiquement, n n'est pas lié a pi, tu vas avoir des termes cos(n) qui seront globalement bien répartis entre -1 et 1 et de moyenne nulle, en prendre le sinus ne changera rien (fonction impaire), la convergence sera assurée largement (toute puissance de n positive au dénominateur conviendrait).

[Pseuda]

Bonjour,

On peut remarquer que la série de terme général (cos(cos n)) / n est quant à elle divergente, car -1<=cos n <=1 donc cos(cos n)>= cos(1), mais cela ne dit rien sur la série sin(cos n)/n, sauf qu'elle n'est pas absolument convergente, ce que l'on savait déjà...

Effectivement le TAF ne marche pas ici, et je ne vois pas comment cela pourrait marcher car faire la somme de 2 termes successifs ne donne pas une différence de 2 termes d'une fonction.