Trigonometrie

[Oussama]

bonjour;
j'ai un exercice : résoudre dans [-pi/2 ; pi/2] l’inéquation suivante :
tan2x-tanx >0
J'ai d'abord précisé le domaine de définition qui est : D=[-pi/2;pi/2] - {-pi/2;pi/2;-pi/4;pi/4}
Puis j'ai essayé de résoudre l’équation:
tan2x-tanx = 0;
j'ai trouvé que x=0;
mais je sais pas comment dresser le tableau de signe pour déterminer les intervalles solutions de l’inéquation tan2x-tanx >0
est-ce que quelqu’un peut m'aider

[chan79]

salut
tan(2x) s'exprime en fonction de tan(x)

[Ben314]

Salut,
Deuxième remarque (indispensable à la compréhension du bidule) : tel quel, l'énoncé avec son "x dans [-pi/2,pi/2]" n'a pas trop de sens vu que pour x=pi/4 ou -pi/4 on ne peut pas calculer tan(2x) (et qu'en pi/2 et -pi/2 qui font parti de l'intervalle donné par l'énoncé, ben on peut pas calculer tan(x))

Sinon, une question qui me turlupine depuis quelque temps, c'est de savoir pourquoi, depuis environ une dizaine d'année, on fait résoudre f(x)=0 aux élèves du Lycée lorsque l'énoncé demande de résoudre f(x)>0 (ou <0)
Le but, c'est quoi ?
Parce qu'à part de garantir qu'ils ne sauront JAMAIS manipuler correctement des inégalités, je vois pas bien l'intérêt de la chose... (sans parler du cas fréquent (*) et qui ne me semble pas être de biveau bac +72 de la résolution d'un truc de la forme 1/x>0 où de commencer par résoudre de 1/x=0 ne me semble pas franchement génial : piège à con oui, mais pertinent, non)

(*) Par exemple... ici...

[Oussama]

Salut,
Deuxième remarque (indispensable à la compréhension du bidule) : tel quel, l'énoncé avec son "x dans [-pi/2,pi/2]" n'a pas trop de sens vu que pour x=pi/4 ou -pi/4 on ne peut pas calculer tan(2x) (et qu'en pi/2 et -pi/2 qui font parti de l'intervalle donné par l'énoncé, ben on peut pas calculer tan(x))

Sinon, une question qui me turlupine depuis quelque temps, c'est de savoir pourquoi, depuis environ une dizaine d'année, on fait résoudre f(x)=0 aux élèves du Lycée lorsque l'énoncé demande de résoudre f(x)>0 (ou <0)
Le but, c'est quoi ?
Parce qu'à part de garantir qu'ils ne sauront JAMAIS manipuler correctement des inégalités, je vois pas bien l'intérêt de la chose... (sans parler du cas fréquent (*) et qui ne me semble pas être de biveau bac +72 de la résolution d'un truc de la forme 1/x>0 où de commencer par résoudre de 1/x=0 ne me semble pas franchement génial : piège à con oui, mais pertinent, non)

(*) Par exemple... ici...

Cela veut dire que cette méthode est fausse ??

[Elias]

Ben de façon générale, le fait de résoudre f(x)=0 ne te donne pas directement l'ensemble solution de f(x)>=0.

Exemple: résoudre sur R+, sqrt(x) - x >= 0

Si tu résous sqrt(x)-x=0, cela te donne x=0 et x=1 mais ça nous dit rien de plus...

Avec les inégalités :
Soit x >=0. On a: sqrt(x)-x >=0 ssi sqrt(x) >= x ssi x >= x^2 [car les fonctions racine et carré sont croissantes sur [0;+oo[ et que x est positif) ssi x(x-1) <= 0 ssi x <= 1.

Donc l'ensemble solution est [0;1].

Donc tu vois bien que le fait de connaître les solutions de f(x)=0 ne suffit pas pour résoudre f(x)>=0.
Ici, f s'annule en 0 et 1 mais pourquoi sur [0;1] elle est forcément positive ? Elle aurait pu être négative. Et puis sur [1;+oo[, est-elle forcément négative ? Elle peut être positive toujours...

Autre ex, f(x)= x^2+2x+1.
Résoudre f(x) >= 0 sur R.

Si tu résous f(x)=0 et tu t'arrêtes là, tu trouves -1. Qu'en déduis tu ? Que la fonction est postive puis négative ou l'inverse ?

Ben nan, en fait pr tout x réel, f(x)>= 0 donc l'ensemble solution est R.

Bref, en général, trouver les zéros d'une fonction f peut éventuellement être intéressant pour résoudre f(x)>=0 mais n'est pas suffisant.
Autant raisonner directement à coup d'inégalités en faisant attention à bien maîtriser le raisonnement par équivalence.
Comme le dit Ben, je ne comprends pourquoi au lycée, c'est fait comme ça.
Après, il faut bien savoir qu'au lycée, les professeurs procèdent comme cela uniquement pour les inéquations de la forme ax+b >=0 (en gros pour faire le tableau de signe des fonctions affines) et aussi pr les équations du second degré mais c'est autre chose ça.
Ensuite, un argument sur le sens de variation de la fonction permet de conclure.

[Oussama]

Ben de façon générale, le fait de résoudre f(x)=0 ne te donne pas directement l'ensemble solution de f(x)>=0.

Exemple: résoudre sur R+, sqrt(x) - x >= 0

Si tu résous sqrt(x)-x=0, cela te donne x=0 et x=1 mais ça nous dit rien de plus...

Avec les inégalités :
Soit x >=0. On a: sqrt(x)-x >=0 ssi sqrt(x) >= x ssi x >= x^2 [car les fonctions racine et carré sont croissantes sur [0;+oo[ et que x est positif) ssi x(x-1) <= 0 ssi x <= 1.

Donc l'ensemble solution est [0;1].

Donc tu vois bien que le fait de connaître les solutions de f(x)=0 ne suffit pas pour résoudre f(x)>=0.
Ici, f s'annule en 0 et 1 mais pourquoi sur [0;1] elle est forcément positive ? Elle aurait pu être négative. Et puis sur [1;+oo[, est-elle forcément négative ? Elle peut être positive toujours...

Autre ex, f(x)= x^2+2x+1.
Résoudre f(x) >= 0 sur R.

Si tu résous f(x)=0 et tu t'arrêtes là, tu trouves -1. Qu'en déduis tu ? Que la fonction est postive puis négative ou l'inverse ?

Ben nan, en fait pr tout x réel, f(x)>= 0 donc l'ensemble solution est R.

Bref, en général, trouver les zéros d'une fonction f peut éventuellement être intéressant pour résoudre f(x)>=0 mais n'est pas suffisant.
Autant raisonner directement à coup d'inégalités en faisant attention à bien maîtriser le raisonnement par équivalence.
Comme le dit Ben, je ne comprends pourquoi au lycée, c'est fait comme ça.
Après, il faut bien savoir qu'au lycée, les professeurs procèdent comme cela uniquement pour les inéquations de la forme ax+b >=0 (en gros pour faire le tableau de signe des fonctions affines) et aussi pr les équations du second degré mais c'est autre chose ça.
Ensuite, un argument sur le sens de variation de la fonction permet de conclure.

effectivement, connaitre les solutions de f(x)=0 n'est pas suffisant, il faut dresser le tableau de variation pour déterminer les intervalles solutions et c'est ici que je bloque je veux savoir une technique pour dresse le tableau de variation correctement comme celui là :
https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjVz_qeqpnYAhXJUhQKHb8gDUIQjRwIBw&url=https%3A%2F%2Fwww.kartable.fr%2Fressources%2Fmathematiques%2Fmethode%2Fetudier-une-fonction-trigonometrique%2F4404&psig=AOvVaw1BPuUD59sSTgo0pBKKsfIS&ust=1513884423596835
J'espère savoir la méthode pour savoir si c'est un + ou un - que je dois écrire dans l'intervalle

[chan79]

salut
f(x)=tan(2x)-tan(x)
C'est une fonction impaire; tu peux l'étudier d'abord dans [0,pi/2]
pi/2 et pi/4 sont à exclure
Montre que f(x)=tan(x)(1+tan²(x)/(1-tan²(x))
Le signe de f(x) est celui de tan(x)*(1-tan²(x))
Tu fais un petit tableau de signes.

[Ben314]

Sur une question comme celle là, il y a bien sûr (et comme d'habitude) des tonnes de façon de trouver la réponse.

La plus naturelle (i.e. celle qui vient sans doute à l'esprit le plus rapidement), c'est évidement d'écrire le tan(2x) en fonction de tan(x) puis d'essayer de factoriser le truc vu que dés le Collège, on sait que c'est la méthode "de base" pour étudier le signe d'une expression (la fameuse "règle des signes").

Une autre façon de procéder, ça pourrait être d'écrire l'inéquation sous la forme tan(2x)>tan(x) et d'utiliser les propriétés connues de la fonction tangente :
- Elle est strictement croissante sur ]-pi/2,pi/2[ donc si x et 2x sont dans cet intervalle on a l'équivalence tan(2x)>tan(x) <=> 2x>x
- Elle est pi-périodique donc, par exemple, tan(2x)>tan(x) <=> tan(2x+pi)>tan(x)
qui, si 2x+pi et x sont dans ]-pi/2,pi/2[, équivaut à 2x+pi>x