Interpolation par séries entières

[Landstockman]

Bonjour à tous,

Depuis quelques temps je me pose la question suivante :

Soit une suite de complexes qui vérifie :

Soit .
Existe-t-il f une fonction développable en série entière en 0 (elle sera donc de rayon infini) telle que ?

Sinon, pouvons-nous trouver une condition nécessaire et suffisante à l'existence d'une telle fonction ?

Merci d'avance

[Landstockman]

Up?

[aviateur]

Bjr
Je ne sais pas ce que tu veux résoudre en posant cette question. Mais sans conditions drastiques sur les et il n' y a pas de solutions (penser au principe du maximum).

[Landstockman]

Justement, si tu regardes bien, les conditions que j'ai imposées mettent en défaut les hypothèses du principe du maximum.

[LB2]

Bonjour,

C'est une sorte de réciproque du principe des zéros isolés?

[Landstockman]

Ça serait un peu l'idée LB2 !
Après je ne sais pas du tout si c'est vrai

[aviateur]

Bjr
Le principe des zéros isolés, je ne pense pas car les ne sont pas nuls.
Franchement poser une question générale (et vague à mon sens) ne donnera pas de réponses. Il faut être plus modeste, i.e .
Commencer par donner une suite (x_i) et (y_i) et voir déjà si on est capable de répondre.

[Ben314]

Salut,

Soit une suite de complexes qui vérifie :

Soit .
Existe-t-il f une fonction développable en série entière en 0 (elle sera donc de rayon infini) telle que ?

La réponse est oui (et il y a même une infinité de solutions)
C'est un résultat très classique de la théorie qu'on obtient en utilisant les "facteurs primaires" de Weierstrass.
Tu trouvera des preuve (pas très compliquée) dans tout les bouquins classiques sur le sujet (ainsi que sur le net) sans doute dans le chapitre dédié au "Théorème de factorisation de Weierstrass".

On peut même faire un peu mieux en montrant qu'il existe une fonction méromorphe sur U (domaine donné de C pouvant être égal C tout entier comme dans ton cas) ayant des pôles données d'avance sur un ensemble discret D fixé d'avance de U : c'est le théorème dit "de Mittag-Leffler".

[aviateur]

Bjr
Si on prend et

Pour tout on pose
Les fonctions sont analytiques et sont solutions. on ne trouve pas une fonction développable en séries entières avec rayon infini et je ne vois pas comment on va caractériser toutes les fonctions entières qui répondent à la question.

[Ben314]

Je comprend pas trop ce que tu dit : tes fonction sont on ne peut plus clairement "entières" c'est à dire analytique sur C tout entier, c'est à dire développable en série entière au voisinage de 0 (ou de tout autre point) avec un rayon de C.V. infini.
Et elles sont toutes solutions du problème "f(n)=1 pour tout n dans N" ce qui signifie bien que le problème admet (comme toujours) une infinité de solutions.

[aviateur]

Oui tout à fait. Mais perso j'ai compris la question (vu le titre "interpolation par série entière") la recherche d'une fonction entière qui approxime "quelque chose" (une fonction? ) qui prend les valeurs y_i en les x_i. Un peu comme une généralisation de l'interpolation polynomiale d'une fonction vérifiant f(x_i)=y_i,i=0,1,....,n que l'on cherche dans un espace de polynômes de degré n.
La donnée des (x_i,y_i) dans le cas de la question ne définit aucunément la série entière
et toute série entière qui vérifie f(x_i)=y_i "solution" ne vérifie que cette condition et rien d'autre.
Derrière chaque question il y a un objectif. Ici je me demande si le titre sous entend qu'il y a un but du genre "approximation". Du moins c'est que j'ai cru comprendre.

[Landstockman]

Merci Ben !

Aviateur je ne comprends pas bien ce que tu veux dire, l'idée c'était bien d'interpoler, mais je ne vois pas très bien où est le problème...

[aviateur]

Bonjour
Qu'entends tu par interpoler? C'est uniquement trouver une fonction entière qui vérifie
Personnellement, j'imagine toujours que derrière ce genre de question, il y a un objectif. Maintenant si il n'y en a pas, effectivement tu ne peux pas me comprendre.

[Landstockman]

C'est bien ça
Non il n'y avait pas d'objectif particulier, ceci explique cela