Calcul pour un maçon du dimanche

[Denis34]

Bonjour,

J'ai 2 piliers au-dessus desquels je veux faire une arche.
Je connais l'écartement entre piliers et la hauteur de la flèche que je veux avoir.
Quelqu'un peut-il m'aider à calculer la longueur de l'arche (pour le coffrage) ?

Merci

[Quidam]

Ben, ça dépend ! Si ton arche a la forme d'un S, d'un Z, ou simplement d'un arc de cercle. S'il vous plaît, dessine-moi une arche ! On verra si on peut faire les calculs qu'il faut !

[Denis34]

L'arche devrait être un arc de cercle parfait.....

[Quidam]

[url=[URL=http://imageshack.us][/url]
Soit O le centre du cercle, h la hauteur des piliers au dessus de O, f la flèche, e l'écartement des piliers. Le rayon du cercle sera tel que : .
Par ailleurs, on a
On en déduit :

Puis :

La longueur de l'arc AB est égal à et la valeur de est donnée par son cosinus :
La longueur de l'arc AB est donc :
Sauf erreur...

[Denis34]

Merci beaucoup, mais je coince dans le final......
Prenons un exemple si vous voulez :
j'ai un ecartement e de 600 cm, une flèche f de 60 cm
cela me donne par calcul un rayon R de 780 cm et là je commence à coincer dur....
Le COS = h/R = 0,923076923
L'angle correspondant à ce COS = 22,61986495°
Le périmètre du cercle = 4900,88454 cm => 1° = Périmètre/360 = 13,61356817 cm

L'arche devrait faire (13,61356817 x 22,61986495) x 2 = 615,8741467 cm ???

Pouvez m'aider à vérifier ce résultat ?

[Quidam]

Mouais ! Cela demande vérification ! Je m'apprêtais à te répondre, mais je crois qu'il vaut mieux que je fasse la figure à l'échelle pour vérifier tout cela. En tous cas, je trouve la même chose que toi, d'une part, la dernière formule que je t'avais donnée pour la longueur de l'arc était tout à fait fausse (désolé !), d'autre part (c'est corrigé) ! De toutes manières, tu avais pris une autre formule, correcte celle-là, utilisant la mesure de l'angle en degrés !
En bref, je ne vois aucun problème, à l'exception du résultat final : 615 cm, que je trouve plus petit que celui auquel je m'attendais, d'où une vérification par une figure à l'échelle, que j'estime nécessaire !

Laisse-moi un peu de temps !

[Patastronch]

Pour ma part tout est correcte dans tes calculs et ceux de Quidam (je vois pas ou est l'erreur dans ton calcul d'angle)

Edit: ah tu as corrigé ok, pour ca.

615 cm me parait une taille normal vu la faible valeur de la fleche comparé a l'ecartement, je vois pas ce qui te choque vraiment.

[Quidam]

Merci beaucoup, mais je coince dans le final......
Prenons un exemple si vous voulez :
j'ai un ecartement e de 600 cm, une flèche f de 60 cm
cela me donne par calcul un rayon R de 780 cm et là je commence à coincer dur....
Le COS = h/R = 0,923076923
L'angle correspondant à ce COS = 22,61986495°
Le périmètre du cercle = 4900,88454 cm => 1° = Périmètre/360 = 13,61356817 cm

L'arche devrait faire (13,61356817 x 22,61986495) x 2 = 615,8741467 cm ???

Pouvez m'aider à vérifier ce résultat ?

Je m'aperçois que j'ai oublié de mentionner que la formule donnant la longueur d'un arc de cercle d'angle , n'est que si est exprimé en radians ! En outre, j'ai fait une faute (déjà corrigée) dans le post ci-dessus : ma formule était inexacte.

Bien entendu, si l'angle est exprimé en degrés, la formule donnant la longueur L d'un arc si l'angle est ° est alors : , soit, ici, puisque l'angle est cm
Par conséquent, tu as utilisé tout à fait correctement la formule adéquate pour calculer la longueur de l'arc AB pour le cas où l'angle est exprimé en degrés, et ton résultat est parfaitement exact !
Qu'est-ce qui te gêne ? Tu trouves que ce n'est pas beaucoup ? Moi aussi ! Je m'attendais à plus ! C'est la raison pour laquelle j'ai voulu faire une maquette à l'échelle avec les nombres que tu m'as donnés. Ca a l'air de marcher parfaitement ! L'échelle du dessin est de 1 pixel pour 1 cm ! A l'impression, ce sera du 1/100 exactement ! Clique sur cette miniature pour avoir l'image à bonne échelle avant de la sauver.

A priori, 2*22,6° = 45,2° soit quasiment un huitième de cercle. Et avec un périmètre total de 4900cm, 1/8 ça fait 612.5. Cela me semble vraisemblable, même si cela m'étonne un peu !

Cela dit, je te conseille de faire de sérieux calculs de résistance de matériaux pour vérifier que ton ciment, ou béton, peut effectivement résister à son propre poids avec un écartement des poteaux aussi gigantesque ! Je ne peux pas t'aider sur ce point ! Mais, fais bien attention, ça me paraît bien dangeureux !

[Quidam]

Pour ma part tout est correcte dans tes calculs et ceux de Quidam (je vois pas ou est l'erreur dans ton calcul d'angle)

Edit: ah tu as corrigé ok, pour ca.

615 cm me parait une taille normal vu la faible valeur de la fleche comparé a l'ecartement, je vois pas ce qui te choque vraiment.

Merci Patastronch d'avoir bien voulu vérifier mes calculs. Je me demandais si je n'avais pas fait une erreur quelque part. Ton intervention me rassure ! Mais je suis quand même inquiet sur la solidité de cette construction...

[Denis34]

Merci à tous,

Rassurez-vous, les dimensions indiquées ne l'étaient qu'à titre d'exemple.
Les dimensions réelles de l'arche que je vais faire dans mon salon sont de 168 cm x 25 cm.
Mais je cherchais une formule à mettre facilement sous excel et qui marche à tous les coups quand on n'a que ces valeurs.

Salut et encore merci !

Ecartement = 168

Flèche = 25

h = 128,62
R = 153,62
COS(ô)=h/R 0,837260773
Angle : 33,14801551
Périmètre : 965,2229269
Longueur 1° : 2,681174797

ARCHE = 177,7512