Suites récurrentes

[vcent1]

Bonsoir,
Je viens de nouveaux sur ce forum pour une question sur les suites;

J'ai une question ou je dois montrer qu'il existe un k appartenant à R tel que :

pour tout n appartenant aux entiers, I Un+1 - alpha I =< k . I Un - alpha I

Ou alpha est l'unique point fixe de la suite définie par : Uo appartenant à ) -3 ; +oo ( et Un+1 = 1 / (3+Un)

J'ai essayé beaucoup de chose sans aboutir une réponse acceptable..
Si quelqu'un aurai une indication ou une aide à m'apporter je suis preneur

En vous remerciant et vous souhaitant une bonne soirée !

[Ben314]

Salut,
Si tu l'a vu, c'est une application directe et immédiate du théorème des accroissement finis vu que |U(n+1)-alpha| c'est |f(Un)-f(alpha)| où f est la fonction que tu itère.

Et si tu as pas vu le théorème en question, alors c'est un simple calcul "bétassous" :
(vu que est point fixe)

Si sur l'intervalle considéré.

[vcent1]

merci beaucoup pour votre réponse rapide
Alors je n'ai pas encore vu le théorème sur les accroissement fini.

En revanche j'étais arrivé à un résultat plus ou moin similaire au votre, seulement dans la correction il arrive au résultat k = 1/9; et c'est ca qui me bloque, je ne vois pas vraiment comment il en est..

[Ben314]

Le point fixe, il est positif et, vu la suite en question, il est clair que, pour on a .
Donc

[vcent1]

donc pour ramener le résultat à 9, il faut minorer Un et alpha par 0 ?
( si je ne me trompe pas )

[vcent1]

D'accord je viens de comprendre c'était un peut bete de ma part mais mieux vaut tard que jamais !
je vous remercie !

[mathelot]

Si quelqu'un aurai une indication ou une aide à m'apporter je suis preneur

Si quelqu'un a une indication ou une aide à m'apporter je suis preneur
inutile de massacrer la langue française