Probabilité : jeux de tirage

[Sheigh]

Bonjour à tous et toutes, voici un problème de probabilité qui me pose souci aux premières questions.

Un joueur se voit proposer le jeu suivant : une urne n boules numérotées de 1 à n.
Le joueur va tirer au hasard une boule dans cette urne, regarder le numéro de la boule tirée. On note X la valeur de ce 1er tirage.
Il remet la boule dans l'urne puis tire une deuxième fois. On note Y la valeur du 2nd tirage.
Le joueur va gagner une somme égale à la plus grande des 2 valeurs tirées. On suppose que les 2 tirages sont indépendants et que chaque boule possède la même probabilité de sortir.
On note µ l'univers des événements élémentaires de ce jeu et on notera P(A), la probabilité d'un événement A.

1- On note G le gain du joueur. Déterminer le support G(µ) de la variable aléatoire G. Que vaut P(X=1,Y=j) selon i et j ?
P(X=i,Y=j) = P(X=i) * P(Y=j) car indépendance des tirages = 1/n*1/n = 1/n^2

2- Pour tout i appartenant à G(µ), montrer que P(G=i) = (2*i-1)/n^2
Mon raisonnement :
soit i= la valeur tirée la plus grande et j<i
Ai : "la valeur tiré du 1er tirage est i, et du second tirage est j"
Bi: " la valeur du 1er tirage est j, et du second est i"
Ci: "la valeur du 1er tirage est i, et la valeur du second tirage est i"
Mais je n'arrive pas au résultat demandé, pouvez-vous m'aiguiller.
Je vous remercie par avance.

[Ben314]

Salut,
C'est effectivement bien ça :
p(G=i) = p(X=i;Y=1) + p(X=i;Y=2) + ... + p(X=i;Y=i-1) + p(X=i;Y=i) + p(X=i-1;Y=i) + . . . + p(X=2;Y=i) + p(X=1;Y=i)
Et comme toute les proba "élémentaires" p(X=?;Y=?) valent 1/n^2, y'a juste à regarder combien il y a de termes dans la somme çi dessus.
Et si c'est pas super clair avec les point des suspension, ben t'a qu'à commencer par regarder comment s'écrit p(G=1) puis p(G=2) puis p(G=3) puis p(G=4) pour comprendre comment ça marche.

[Sheigh]

Merci, mais je ne comprends toujours pas car j'aurai tendance à écrire alors ceci:
P(G=i) = 1/n*1/n *(i-1)*2 , ce qui ne me donne pas comme l'énoncé P(G=i) = (2*i-1)/n^2.

[Ben314]

Écrit moi sans points de suspension ce que c'est que p(G=4) (en supposant n>4 bien sûr)

[Sheigh]

Ok, je pêche un peu et je ne suis pas calée en balise Tex, donc :
P(G=4) = i/n *somme( (indice du bas: i=1,indice du haut:n) 1/n) *2

[Ben314]

Je te demande pas une écriture "théorique", mais au contraire une "vrai" somme.
Bref, donne moi la liste complète et exhaustive de tout les couples (X,Y) qui donnent Max{X,Y}=4 (c'est à dire G=4).

[Sheigh]

couples (X,Y) : (4,1) ; (4,2); (4,3), (4,4); (1,4) ; (2,4) ; (3,4)

[Ben314]

Oui.
Et le bilan, ben c'est qu'il y en a 7 (et pas 8), c'est à dire 2x4-1 et ça colle parfaitement avec ce que dit l'énoncé, à savoir que la proba d'avoir G=i, c'est (2i-1)/n^2.

[Sheigh]

D'accord, c'est compris, je vous en remercie bien.

[Sheigh]

Bonjour,

Maintenat, on me dit au lieu de gagner la plus grande des deux valeurs tirées, le joueur gagnera une somme égale à deux fois la plus petite. G2 est le gain du jeu.
J'aimerai savoir si P(G2=i) = 2*(1-P(G=i)) ?