Suite Arithmétique Exercice

[rgbrubel]

Bonjour,
Je vous soumets l'énoncé : Déterminer 4 nombres d'une Suite Arithmétique dont la Somme = 24 et le Produit = 945 . Fin de l'énoncé .
Pour vous faire gagner du temps, je pense que la Solution est : 3, 5, 7, 9 , mais je n'arrive pas à le démontrer mathématiquement .
Voici comment j'ai voulu procéder : Soit x : le premier terme ; et r = la raison de la Suite .
=> x + x+r + x+2r + x+3r = 24 <=> 4x + 6 r = 24
et x(x+r)(x+2r)(x+3r) = 945 à partir d'ici , je bloque ... Cela fait une semaine que je cherche ... des heures et des heures ...J'ai 62 ans et je ne connais personne en milieu scolaire ...
Merci d'avance, je mettrai votre réponse sous le Sapin !

[WillyCagnes]

bjr

tu as trouvé la 1ère équation
4x +6r=24
tu en déduis x=6-6r/4 que tu reportes
dans x(x+r)(x+2r)(x+3r)

(6-6r/4)(6-6r/4 +r)(6-6r/4 +2r)(6-6r/4 +3r)
(6-6r/4)(6-2r/4)(6+2r/4)(6+6r/4)
on arrange autrement pour pour calculer la forme a²-b²
(6-6r/4)(6+6r/4)*(6-2r/4)(6+2r/4)
(36-36r²/16)*(36-4r²/16) =945

equation à resoudre, ou donner des valeurs à r=1,2,3

[Lostounet]

Salut
Si on veut poursuivre ta méthode, on peut essayer d'exprimer x en fonction de r: 4x+6r=24 donc x = (24-6r)/4 = 6 - 3r/2

Ensuite on remplace tous les x par 6-3r/2:

x(x+r)(x+2r)(x+3r) = 945
Donc (6-3r/2)(6-3r/2 + r)(6-3r/2 +2r)(6-3r/2 +3r)=945


Ensuite on développe tout ce polynôme et on le simplifie! (En simplifiant d'abord à l'intérieur de chaque parenthèse).

On trouve: (9 r^4)/16 - 90 r^2 + 351 = 0

En posant Y=r^2 on trouve une équation du second degré facile à résoudre en Y. On déduit donc r.
Puis on utiliser 4x+6r=24 pour trouver x.

[nodgim]

Il y a en effet une solution avec des entiers, celle que tu as trouvée, et une autre solution dans les réels.
Comme la question est niveau Lycée, il ne faut pas exclure la solution avec les irrationnels.

[Ben314]

Salut,
Comme souvent dans ce type d'exo., on a intérêt à "symétriser" le problème au départ, c'est à dire à dire que les 4 termes successifs qu'on cherche sont m-3r ; m-r ; m+r ; m+3r (en prenant pour m la moyenne des 4 et pour r la moité de la raison).
Avec ce point de vue là,
- La somme des 4, c'est simplement 4m donc on a immédiatement m=6.
- Et le produit des 4, c'est (m²-r²)(m²-9r²) qui donne (36-r²)(36-9r²)=945 qui est une équation du second degré en r² qui a pour solutions r²=1 ou bien r²=39.

[rgbrubel]

Bonjour et un Grand Merci aux 4 intervenants qui ont voulu m'aider ! Grâce à vous, je passerai un bon Réveilon !
Je suis débutant sur ce site (ha ha , en math aussi apparemment), je ne sais pas trop bien comment répondre individuellement ! Désolé !
Sans conteste, c'est bien WillyCagnes et Lostounet qui m'ont le mieux mis sur la voie du Graal ! Lol

Je rappelle également que je ne suis que d'un niveau à peu près Première ...
Vous devez savoir que j'ai pris en considération toutes vos aides , j'ai consacré ma journée hier à cela.

J'ai tout testé et retesté et pour moi, je dois trouver les 2 racines en r^2 = 4 et r^2 = 156
Ensuite résoudre ... avec r ... pas de problème.

Pour Ben314: je ne connais rien de cette technique de "symétrisation" ; je n'ai donc rien compris mais je me suis concentré sur ton équation finale : je l'ai recalculée comme toi et elle donne donc r^2 = 1 ou 39; ce qui n'est pas bon ; je pense que les 2 termes en r^2 de ton équation doivent encore être sous Dénominateur 4.
Elle correspondont alors à celle de Willy Cagnes simplifiée ... Merci de voir si tu as le temps.
Si jamais tu as un cours en Pdf ou autre sur cette technique dont tu parles, merci de me la communiquer, ça m'a l'air assez génial !

A toi Nodgim : je ne suis pas sûr de comprendre ton intervention : "y aurait-il une autre solution dans R ? "
Dans le cours que j'ai , et pour autant que je sache, tous les calculs ici sont dans R ; c'est l'énoncé, simplement qui donne des entiers comme solution . Tous les termes des suites appartiennent à R et r aussi sauf qu'il est différent de zéro. J'ai eu d'autres exercices où r = 1/Racine carrée de 2 par exemple .
Si tu as d'autres infos, merci de les communiquer aussi ! Merci à toi !

A toi Lostounet : Ha ha ! J'ai fait, refait, refait ... mes calculs sans jamais aboutir à ton Equation de la Mort Qui Tue LOL ! Je suis devenu Fou avec le terme 351 ! Lol Comment obtenais-tu ça ?????
Jusqu'au moment où j'ai compris que mon équation était la même que la tienne ! Tu avais gardé le facteur 9/16 dans le membre gauche alors que moi, je l'avais éjecté à droite ce qui fait que 945 était devenu 1680 ...

Décidément, je ne suis pas Gauss ! Lol Joyeux Noël à tous !

[WillyCagnes]

bsr
j'espère que tu as mis les solutions des Pères Noël sous le sapin....
Passe de bonnes Fêtes de Noël.

[rgbrubel]

Oui et Merci Willy !!! C'est un Petit Miracle de Noël ! Les Plus Belles Boules de Sapin du Monde sont Celles de la Connaissance car La Connaissance élimine les Différences et Les Peurs de l'Autre ! Merci pour tout !

[Ben314]

Pour Ben314: je ne connais rien de cette technique de "symétrisation" ; je n'ai donc rien compris mais je me suis concentré sur ton équation finale : je l'ai recalculée comme toi et elle donne donc r^2 = 1 ou 39; ce qui n'est pas bon ; je pense que les 2 termes en r^2 de ton équation doivent encore être sous Dénominateur 4.

Non, le r de ma méthode, il vaut bien soit 1, soit racine(39). Le truc, c'est qu'il faut (évidement) (re)lire le début pour (re)trouver qui est r dans cette histoire et il me semble avoir bien précisé que, si on dit que les 4 nombres en progression arithmétique, c'est m-3r ; m-r ; m+r et m+2r, ça signifie que la raison de la suite, c'est 2r et par r.

Sinon, cette histoire de "symétrisation", c'est pas une "technique" qu'on apprend à un moment ou un autre.
C'est simplement le fait que, face à ce type de problème (et à des tonnes et des tonnes d'autres problème style ceux du certificat d'étude des années 1900), c'est à toi de choisir quelles sont les inconnues.
Par exemple, ici, le premier truc qui vient à l'esprit, c'est de déterminer le premier terme de la suite de quatre termes et de déterminer la raison de la suite. Sauf que, comme souvent, ben le premier truc qui vient à l'esprit, c'est pas forcément le plus malin, ni celui qui permettra de faire les calculs le plus rapidement possible.
Donc on a souvent intérêt à réfléchir quelques seconde pour voir s'il ne serait pas plus malin de prendre autre chose comme inconnues que ces inconnues là (premier terme et raison).

Et dans un cas comme ici, un truc qui peut venir à l'esprit, c'est que dès qu'on a une solution, mettons par exemple 3,5,7,9, (premier terme=3; raison=2) alors, vu la formulation du problème, on a automatiquement une deuxième solution, à savoir 9,7,5,3 (premier terme=9 ; raison=-2) qui, bien sûr, intuitivement parlant est la même que la première alors qu'au niveau calcul c'est pas la même (le premier terme est 3 pour la première alors que c'est 9 pour la seconde). Par contre, ce qui est la même chose pour les deux solution, c'est la moyenne des 4 nombres (qui vaut évidement 6 dans les deux cas). Donc ça incite à chercher plutôt la moyenne des 4 nombres plutôt que le premier des 4 (il y aura deux fois moins de moyennes possibles que de premier terme possible).

[Lostounet]

Hey

En fait la méthode de Ben est la plus 'optimale'.
Il te dit qu'au lieu de choisir x le premier terme et r la raison, on va choisir comme inconnues de départ la moyenne m des 4 termes et q la moitié de la raison.

Donc en fait, pour lui:
(X+(X+r)+(x+2r)+(x+4r))/4 = m

Et r/2=q

Qu'est-ce que ça change?
Ça permet d'avoir des équations plus agréables:
Déjà tu sais que la somme des 4 termes vaut 24, donc déjà on trouve m directement: 24/4=m donc m=6

Ensuite en utilisant le fait que q=r/2, on sait directement que les termes de la suites s'expriment par: 4x+6r=24=4m alors x=(24-6r)/4=6-3r/2 = 6-3q

Cela signifie que x+r=6-3q+r=6-3q +2q=m-q
Et x=m-3q
Mais aussi que x+2r=6-3q+4q=m+r
X+3r=6-3q+6q=6+3q=m+3q


Ce qui a l'avantage de permettre d'exprimer le produit avec une identité remarquable (a+b)(a-b)=a^2-b^2 en regroupant deux à deux les termes "m+q" et 'm-q' et d'autre part m+3q et m-3q:

(m+q)(m-q)(m+3q)(m-3q) = 945

Donc (m^2-q^2)(m^2-9q^2)=945

Mais m on le connait facilement ! Car m=6,

Alors (36-q^2)(36-9q^2)=945
On peut diviser les deux membres par 9 puis tout développer on trouve simplement: q^4-40q^2+39=0
Facile à rèsoudre.

Par exemple:
(q^2)^2-2×q^2×20 + 20^2 -20^2+39=0

Donc(q^2-20)^2 - 19^2=0
Alors (q^2-39)(q^2-1)=0

[Lostounet]

Désolé j'ai pas vu Ben.
Bon je suis à l'aèroport je me fais chier.. je garde le post !

[rgbrubel]

Encore Merci à vous, Lostounet et Ben314 pour vos 2 messages en développant par la moyenne; j'ai enregistré et imprimé vos 2 réponses; je vais m'appliquer à tenter ce raisonnement dans d'autres exercices afin de me familiariser avec cette approche ... l'année prochaine ce qui ne saurait tarder !
Désolé de répondre avec un peu de retard, j'attendais le "Corrigé officiel" de cet exercice afin de pouvoir vous le transmettre en remerciement du temps que vous avez tous consacré à me répondre . Il s'agit bien entendu d'un "Corrigé" niveau équivalent Première ...
Je vous souhaite à tous un excellent Réveillon et vous souhaite une Super Année 2018 pleine de Maths !
A bientôt,

Désolé, je n'arrive pas à envoyer une pièce jointe, et plus le temps maintenant, ce sera pour l'année prochaine ,