Là, à mon avis, avant de se lancer dans les calculs, il faut comprendre le bidule qui n'est jamais qu'une espèce de Fubini un peu bizarre.
Mettons que tu veuille mesurer la surface du domaine délimité par l'axe des x et le graphe de la fonction f(x)=1-x^2 sur [-1,1] (qu'on peut éventuellement étendre à f(x)=0 en dehors de l'intervalle si besoin est).
La théorie "vue" (sic.) en terminale te dit que l'aire en question, c'est
\,dx)
La théorie vue plus tard (intégrale de Riemann en dimension n) te dit que c'est aussi l'intégrale double de 1.dy.dx sur le domaine D de R^2 formé des (x,y) tels que 0 <= y <= 1-x^2.
Sauf que cette même théorie (le théorème de Fubini) te dit que cette intégrale tu peut aussi la calculer "en dx.dy", c'est à dire en écrivant que le domaine c'est les (x,y) tels que
et
et donc que la surface c'est non seulement
dx=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx)
mais c'est aussi
dy=\int_{0}^{1}2\sqrt{1\!-\!y}\,dy)
.
Et pour revenir à ton exo, le
qu'on a juste çi dessus, ben c'est en fait la mesure (de Lebesgue) de l'intervalle
qui est en fait l'ensemble des x tels que f(x)=y (pour y entre 0 et 1).
Bref, pour que ton truc soit cohérent, il faut que ton E_r, ça soit les x tels que f(x)=r (
égal à r) et pas autre chose.
Et sinon, je comprend pas ce que tu raconte avec tes
=r(S))
:
c'est une mesure sur R (à savoir la mesure de Lebesgue) alors que r, c'est un bête réel (et en plus le r en question, il est situé "sur l'axe des y" alors que la mesure de Lebesgue, dans l'histoire, ce qu'elle mesure, c'est une partie contenue "dans l'axe des x")
