Equations non linéaires

[Gfcscorp]

1) discuter suivant les valeurs de α (α>0) le nombre de points d'intersection des courbes d'équations gα(x) = α√x, h(x)=ln(x)
On pourra étudier fα(x) =α√x - ln(x)

2)Prendre α=1/2
Montrer que f(x) = 1/2√x - ln(x) s'annule deux fois sur R+.
Localiser les racines entre deux entiers consécutifs.

3)Montrer que chacune des deux itérations suivantes
Xn+1=exp(1/2√xn)
Xn+1 =4[ln(xn)]²
permet de n'approcher qu'une seule des deux racines.

4)Justifier la convergence ou la divergence des 2 méthodes proposées
répondre

[Black Jack]

1)

On étudie les variations de fα pour x > 0

(fα(x))' = α/(2Vx) - 1/x

(fα(x))' = (α.Vx - 2)/(2x)

...

On devrait arriver à montrer que fα a un minimum pour x = 4/α² et que ce min vaut fα(4/α²) = 2 - ln(4/α²)
Calculer aussi lim(x-->0+) fα(x) et lim(x-->+oo) fα(x)

On pourra alors en conclure que :

fα(x) = 0 aura :

0 solution si 2 - ln(4/α²) > 0, donc pour α > 2/e (pas de point d'intersection de ...)
1 solution double si 2 - ln(4/α²) = 0, donc α = 2/e (1 point d'intersection de ...)
2 solutions distinctes si 2 - ln(4/α²) > 0, donc pour 0 < α < 2/e (2 points d'intersection de ...)

Voila, essaie déjà de compléter ce que j'ai fait.

Et essaie de proposer quelque chose pour la suite.

[Gfcscorp]

D'accord ça arrive

[Gfcscorp]

Les limites en 0 et en plus l'infini donnent plus l'infini
Erreur de frappe 2 solutions Si 2-ln(4/α²) <0
Suite

2) pour tout α / 0<α<2/e fα(x) admet 2 points d'intersection avec y=0 comme α=1/2 qui appartient à ]0,2/e[ f(x) s'annule deux fois sur R+
Encadrement
f'(x) est négatif sur ]0, 16[ et positif sur ]16, +inf [ et f(16)=2-ln(16)<0
Il existe donc x1 app à ] 0,16[ et x2 app à ]16,+inf [ / f(x1,x2)=0 .

[Gfcscorp]

Le reste arrive

[Gfcscorp]

2<x1<3
74<x2<75