par Ben314 » 16 Déc 2017, 21:28
Salut,
Si ta mesure est simplement additive, stable par translation et telle que mu(R)=M soit fini, ça va être vite plié le bidule :
Tu part d'un intervalle [a,b] et tu note m sa mesure.
Tu en fait n (entier) copies en translatant suffisamment pour que ça ne se recoupe pas.
D'un coté, par additivité fini, la mesure de la réunion, c'est n.m
D'un autre coté, vu que c'est contenu dans R, la mesure de la réunion, c'est inférieur à M.
Bilan : n.m<=M et ceci quelque soit n dans N donc m est nul.
Bon, sinon, l'énoncé un peu plus intéressant que celui là, ça consiste bien évidement à ne pas supposer que mu(R) est fini, mais à continuer à supposer que la mesure est "de Borel", c'est à dire telle que les mesure des intervalles [a,b] soient finies.
Dans ce cas, tu peut faire le même raisonnement que çi dessus en partant d'un singleton et en le translatant de façon à ce que ça reste dans un [a,b] fixé au départ (qui lui est de mesure fini) et la conclusion est que ton singleton a une mesure nulle.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
