Ideal principal

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tommheolig
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ideal principal

par tommheolig » 16 Déc 2017, 19:30

Bonjour,

Montrer que dans Z[X], l'idéal I = {2P + XQ, P,Q € Z[X]} n'est pas principal ?

Si I était principal il aurait un U dans Z [X] tel que I = Z[X] .U donc , puisque 2 appartient à I il y aurait un R dans Z [X] tel que 2 = R.U

C'est là que je bloque, je comprends pas pourquoi c'est pas possible...

Merci pour votre aide



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Ben314
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Re: ideal principal

par Ben314 » 16 Déc 2017, 19:32

(re)Salut,
Tu peut me donner la liste (complète) des polynômes R et U à coefficients entiers dont le produit fait le polynôme constant égal à 2 ? (avec la preuve que tu n'en a pas raté la moitié)
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Re: ideal principal

par tommheolig » 16 Déc 2017, 19:39

Il y en a aucun, mais mon cerveau me fait un gros bug et me dit "Bah, si R = 1 et U = 2, ou R = 2 et U = 1, alors 2 = RU, et R € Z{X] , U € Z[X]". Donc je suppose qu'au fond ma question c'est, pourquoi R et U ne peuvent être des polynômes constants?

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Ben314
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Re: ideal principal

par Ben314 » 16 Déc 2017, 19:42

Je sais pas où tu es allé piocher que "il n'y en a aucun" ni où tu as pioché que "ils ne peuvent être constant", mais c'est bien évidement faux vu que, comme tu le dit toi même, R=2 et U=1, (polynômes constants), ça marche.

Mais il faudrait la liste complète des solutions et pas un exemple (plus une preuve bien sûr) histoire d'être sûr et certain d'avoir tout les cas possible.
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Re: ideal principal

par tommheolig » 16 Déc 2017, 19:48

si je prends R = a0 + a1X + .... + anX^n et U = u0 + u0X + ..... unX^n

RU = 2 <=> a0u0 = 2 et ai, ui = 0 pour tout i >0. Si ai,ui peut être différent de 0 pour i>0 alors je vois pas comment c'est possible

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Ben314
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Re: ideal principal

par Ben314 » 16 Déc 2017, 20:05

Peut être que ça serait un tout petit peu plus subtil de commencer par dire qu'il faut que 0=d°(2) soit égal à d°(RU)=d°(R)+d°(U), non ? (modulo évidement de préciser que R et U possèdent effectivement un degré, c'est à dire qu'ils sont non nuls)
Donc R et U doivent être de degré 0, c'est à dire constant.
Ensuite, pour que le produit de deux entiers fasse 2, ben c'est forcément 2x1 ou bien (-2)x(-1).

Bilan : si un tel U qui engendre ton idéal existe, c'est soit 1, soit 2, soit -1, soit -2 (polynômes constants).
Sauf que . . .
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Re: ideal principal

par tommheolig » 16 Déc 2017, 20:16

Je sais pas...

Si U= 1,-1 <U> = Z[X] je vois pas en quoi ça m'avance..

Sinon ici I = {2P + XQ, P,Q € Z[X]] donc... Je sais pas :(?

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Re: ideal principal

par Ben314 » 16 Déc 2017, 20:35

tommheolig a écrit:Je sais pas...
Si U= 1,-1 <U> = Z[X] je vois pas en quoi ça m'avance..
Sinon ici I = {2P + XQ, P,Q € Z[X]] donc... Je sais pas :(?
Ben ça t'avance que au lieu d'avoir à démontrer que I n'est aucun des Z[X].U pour n'importe quel U (énoncé de départ), tu as juste à démontrer que c'est faux pour U=1 et U=2 (qui donent les mêmes idéaux que -1 et -2).
C'est bien évidement un énorme progrés.

Reste à comprendre (et expliquer) pourquoi ton idéal I,
a) Ce n'est pas Z[X].1=Z[X]
b) Ce n'est pas non plus ni Z[X].2
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Re: ideal principal

par tommheolig » 16 Déc 2017, 20:45

Donc je dois montrer que I= {2P + XQ, P,Q € Z[X]] n'est pas égal à Z[X].1 ni égal à Z[X].2 ?

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Re: ideal principal

par tommheolig » 17 Déc 2017, 15:55

J'ai compris que <2,X> n'était pas un idéal principal car si c'était le cas, on aurait qu'il existe P € Z(X) tel que I = PZ(X) et comme 2, X € I, on aurait que 2 = PQ, X = PR, d'où P = + - 1

donc 1 = +- P € I (pourquoi 1€ I ?? il y a juste ça qui me bloque....) donc il existe S,T € Z(X) tel que

1 = 2T + TX, impossible car le coefficient constant de 2S + TX est pair.

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Re: ideal principal

par Ben314 » 17 Déc 2017, 19:20

tommheolig a écrit:J'ai compris que <2,X> n'était pas un idéal principal car si c'était le cas, on aurait qu'il existe P € Z(X) tel que I = PZ(X) et comme 2, X € I, on aurait que 2 = PQ, X = PR, d'où P = + - 1
donc 1 = +- P € I (pourquoi 1€ I ?? il y a juste ça qui me bloque....)
Tu réfléchi un peu ou vraiment pas du tout ?
Si P c'est , c'est qui ton I=P.Z[X] ?
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Re: ideal principal

par tommheolig » 17 Déc 2017, 19:26

Je dois avouer que mon cerveau est pas très efficace!!

C'est logique du coup, merci pour l'aide

 

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