Ideal non principal

[tommheolig]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à répondre àla deuxième question de cet exo:

Soit Z[i√d]={x+iy√d, x,y appartenant à Z}, d appartient à N*, d ⩾3 tel que √d n'appartient pas à N.

1) Montrer que 2 et i√d sont irréductibles dans Z[i√d].
J'ai réussi à montrer qu'ils étaient irréductibles.
2) On suppose d=2k avec k⩾2. Montrer que i√d divise d+2i√d.
En déduire que Z[i√d] n'est pas principal.

J'ai montré que i√d divise d+2i√d : d+2i√d=i√d(2-i√d)

Je ne vois pas comment en déduire que l'anneau n'est pas principal. J'ai pensé à montrer que i√d n'est pas premier, et comme dans un anneau principal nombre premier équivaut à nombre irréductible on aurait que l'anneau n'est pas principal. Mais je n'arrive à rien de concluant.

Merci

[tommheolig]

quelqu'un a une idée ?? :'(

[Ben314]

C'est quasiment le même exercice que celui avec les polynômes : que peut-tu dire de l'idéal engendré par 2 et par i√d ?

[tommheolig]

Ok, je retourne sur l'autre exercice et je vois celui là ensuite