La période d'une fonction

[kabakas]

saluuut

une idée svp



et merci

[chan79]

Salut
Il y a au moins une fonction qui vérifie tout ça; c'est la fonction de dans telle que:

Elle est évidemment périodique.

[Ben314]

Salut,
Je sais pas qui c'est qui a pondu cet énoncé, mais visiblement c'est un pas trop Francophone (ou pas trop matheux...) vu que ça m'étonnerais que l'article défini LA (dans "on considère LA fonction telle que...") soit correct.

[nodgim]

C'est peut être francophone, mais ça pourrait bien venir de nos voisins belges...

[chan79]

On pourrait peut-être résoudre d'abord l'équation fonctionnelle
f(x+1)*(1+f(x))=1
je ne sais pas si c'est faisable

[Ben314]

On pourrait peut-être résoudre d'abord l'équation fonctionnelle
f(x+1)*(1+f(x))=1 je ne sais pas si c'est faisable

Tu ne risque pas de "résoudre" quoi que ce soit : l'équation en question, tout ce qu'elle te dit c'est que la connaissance de f sur un intervalle de largeur 1 détermine entièrement f.
Donc vouloir "résoudre" un tel truc, ça a autant de sens que de vouloir "résoudre" l'équation fonctionnelle f(x+T)=f(x) pour tout x (avec T fixé)...

En fait, LE truc qu'on peut (et qu'on doit) faire, c'est "d'emboiter" (*) la formule pour évaluer f(x+2) en fonction de f(x) puis f(x+3) en fonction de f(x), etc (et comme par hasard, on tombe assez rapidement sur f(x+?)=f(x))

Par contre, tel quel, l'énoncé est totalement absurde : on ne risque pas de parler de LA fonction telle que..., et on ne risque pas non plus de déterminer LA période de f vu qu'il est tout à fait possible que la période que l'on trouve ne soit pas la plus petite possible et il n'y a aucun moyen de le vérifier vu qu'on ne peut absolument rien dire concernant f(x+p) par rapport à f(x) lorsque p n'est pas entier [exactement comme une fonction supposée uniquement T-périodique et où on ne peut strictement rien dire concernant f(x+T/2) par rapport à f(x)]

(*) Exactement comme on le fait pour f(x+T)=f(x) où là, la réponse est triviale : si on "emboite", ça donne f(x+k.T)=f(x).

[chan79]

ouais, la seule chose à laquelle j'arrive c'est que la suite n ---> f(n) converge vers N-1 (N nombre d'or) en général.
Si f(0)=-1 ça ne marche pas, évidemment ...
mais rien de bien précis ....

[pascal16]

Je n'ai rien trouvé qui dépasse le niveau lycée.

f périodique :
-> soit f est constante
-> soit f , n'admet pas de limite en +oo

si on étudie , à x fixé Un+1=1/(1+Un), Uo=x
on a convergence en +oo vers une limite fixe.

Si la période est rationnelle, on peut alors, niveau lycée sans doute montrer que pour tout x rationnel, f admet une limite en +oo et est donc constante.

sans continuité de f, dur de passer au cas où x et la période sont quelconques.


Les exercices précédents portaient sur quoi ?

[nodgim]

ça pourrait bien être une erreur d'énoncé, car la fonction f(x+1) = 1 / (1-f(x)) est périodique.

[Ben314]

Si on a vu une fois dans sa vie la notion d'homographie, ben on sait que LES (et pas LA) fonctions f telles que pour tout x vont vérifier si et seulement si la matrice à la puissance n donne l'identité (i.e. que la composée d'homographies, c'est la même chose que le produit matriciel)

[pascal16]

niveau lycée, la notion de fonction homographique s’arrête à avec étude des asymptotes et sans parler de changement de variable si je me rappelle bien.

Ben, si tu a la démonstration niveau lycée de ce que tu avances, on t'écoute.

[Ben314]

Un truc on ne peut plus faisable au niveau Lycée (et c'est bien ça qu'on demande de faire ici et dans pas mal d'autres exos, par exemple sur les suites), c'est de calculer la composée de deux homographies.
Certes le mot "homographie" voire même celui de "composée" sont quasi banni des programmes, mais il n'empêche que c'est exactement ça qu'on fait.
Ensuite, de voir que c'est la mêmes chose qu'un produit matriciel, c'est évidement une simple vérification bébête qui demande uniquement... à connaitre la définition du produit de deux matrices 2x2 (qui, effectivement et sauf erreur, font parti des trucs viré des programmes).

Bref, s'il était vrai que l'on pouvait déduire de la formule donnée une formule du style f(x+n)=f(x) pour tout x (et pour un certain n), çà serait on ne peut plus dans les clous au niveau Lycée : c'est juste de bêtes substitution/simplification qu'il faut faire dans la formule donnée.
Par exemple, avec la formule de Nodgim : f(x+1)=1/(1-f(x)), tu vérifie (niveau Lycée) que f(x+3)=f(x).

Sauf que là, ben ça marche pas et effectivement c'est pas trop de niveau Lycée (en tout cas sans indications) de montrer que, si tu écrit f(x+n) en fonction de f(x), alors quelque soit le n, ça ne donnera jamais f(x+n)=f(x).
Mais si tu as le "recul" avec les matrices, là, c'est évident vu que la matrice correspondant à f(x+1) = 1 / (1+f(x)) ne vérifie évidement pas A^n=Id (les valeurs propres de A ne sont pas des racines n-ièmes de l'unité).

Le bilan, ce que tel quel, l'énoncé est faux avec deux possibilités (très différentes l'une de l'autre) :
- Soit c'est une autre fonction comme le suggère Nodgim et c'est de niveau Lycée sans le moindre soucis.
- Soit il y a en plus une hypothèse de régularité de la fonction f (par exemple la continuité) qui permet de faire un certain nombre de déduction du style "si f(x) est comme si, alors f(x+1) est comme ça et le théorème des valeur intermédiaire nous dit qu'entre les deux il se passe je sais pas quoi (par exemple f prend la valeur -1 ou 0, ce qui est évidement impossible)"

P.S. Et là où on voit déjà que ça a été recopié par un charlot, c'est que l'ensemble d'arrivé de f, évidement, ça doit être R privé de 0 et -1 et pas R privé de 0 et 1.

[Elias]

Justement, par rapport à l'ensemble d'arrivée, on peut peut-être déduire qu'il y a une faute de frappe et que c'est sûrement la fonction que suggère nodjim (avec 1-f(x) au dénominateur au lieu de 1+f(x)). Car dans cette situation, il faut bien que f(x) soit différent de 1.

Donc l'erreur est plutôt à ce niveau plutôt que dans l'ensemble d'arrivée.

[Ben314]

Effectivement : ça permet d'avoir une seule erreur d'énoncé, en plus "petite" (pour un non mathématicien...) : le signe dans la fonction.

Sinon, est-ce que quelqu'un peut me trouver une fonction "très très régulière" (indéfiniment dérivable) telle que, pour tout x on ait

[Pseuda]

Bonjour Ben314,

Maintenant que tu nous as donné le procédé... Bof, j'ai trouvé (sans le procédé) en un clin d'oeil, je laisse les autres chercher (très très régulière en effet).

[chan79]

ça pourrait bien être une erreur d'énoncé, car la fonction f(x+1) = 1 / (1-f(x)) est périodique.

Bien vu, nodjim

[nodgim]

Je connais Ben314 depuis un moment, je sais qu'il a un coté espiègle, voire farceur, qui ressort de temps en temps...

[nodgim]

ça pourrait bien être une erreur d'énoncé, car la fonction f(x+1) = 1 / (1-f(x)) est périodique.

Bien vu, nodjim

Aucun mérite, j'ai dit que c'était une histoire belge...

[Black Jack]

Salut,

f(x+1) = 1 - 1/(1 - f(x-1))

= 1 - 1/f(x-1)

= 1 - 1 + f(x-2)

= f(x-2)

Et donc f(x+1) = f(x-2)

f est périodique de période 3.

Ou plus exactement, 3 est une période de f ... mais pas obligatoirement la plus petite strictement positive.

[mathelot]

est ce qu'avec une hypothèse supplémentaire sur
on démontrerait que f est constante et vaut