Element nilpotent et isomorphisme

[tommheolig]

Bonjour,

Je veux montrer que Q[X] / <(X-a)²> n'est pas isomorphe à Q x Q

J'ai d'abord montré que Q x Q admet un seul élément nilpotent : (0,0). (d'ailleurs, faut-il le prouver, cela parait évident mais bon...)

Ensuite, je cherche un nilpotent non-nul de Q[X] / <(X-a)²>. J'ai choisi (X-a)².

Cela suffit-il à prouver que Q[X] / <(X-a)²> n'est pas isomorphe à Q x Q ? Si oui, j'ai quelques lacunes qui font que je ne sais pas exactement pourquoi..

Merci pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Déjà, quand on parle d'isomorphisme, ça serait plus que pas con de préciser pour quelles structure.
Par exemple Q[X]/<(X-a)^2> et Q^2 sont bel et bien isomorphes... en temps que groupes additifs.
Après, vu que tu affirme que ce qu'il faut montrer, c'est ... qu'ils ne le sont pas, j'en déduit que c'est pas en temps que groupe additifs, mais sans doute en temps qu'anneau. Mais j'espère que tu sera d'accord avec le fait que c'est pas à moi de reconstituer l'énoncé avec les bribes d'info. que tu donne, mais que c'est à toi de te démerder pour que la question posée soit claire et sans ambigüité.

Bon, sinon pour revenir à la question, je comprend pas ce que tu fabrique avec ton "J'ai choisi (X-a)^2".
Par définition même, la classe de (X-a)^2 dans le quotient Q[X]/<(X-a)^2>, ben c'est le zéro de l'anneau donc c'est on ne peut plus normal que ce soit un nilpotent et, via n'importe quel (éventuel) isomorphisme avec R^2, il correspond bien évidement l'élément (0,0) de R^2.

Bref, tout ce que tu raconte, dans les deux cas (celui de R^2 et celui de Q[X]/<(X-a)^2>), c'est que le zéro de l'anneau est nilpotent. Et comme c'est vrai dans absolument n'importe quel anneau, ça risque pas de t'avancer à grand chose...

[tommheolig]

Ca marche, je repose la question de manière plus claire :

soit a un élément de Q. Soit f : Q[X] / <(X-a)²> -> Q x Q un morphisme d'anneau.

1. On veut montrer que Q[X] / <(X-a)²> n'est pas isomorphe à Q x Q

a) Montrer que le seul élément nilpotent de Q x Q est (0,0)
b) Trouver un élément nilpotent non nul de Q[X] / <(X-a)²> et conclure.

Pour conclure, je suppose avoir à utiliser la propriété :

Un élément a € A anneau est nilpotent <=> f(a) est nilpotent. avec f isomorphisme.

Je cherche donc ici, pour le b) un élément nilpotent appartenant à Q[X] / <(X-a)²> tel que son image, par le morphisme f, est différent de (0,0), donc non nilpotent dans Q x Q, me permettant ainsi de conclure que Q[X] / <(X-a)²> n'est pas isomorphe à Q x Q.

Je suis un peu bloqué. J'ai bêtement pensé (oui, je suis une merde en maths) qu'en utilisant (X-a)² dans Q[X] / <(X-a)²>, j'aurai f((X-a)²) = (a,b) a,b différents de 0. Mais non, ça marche pas. Donc je vois pas bien quel élément choisir dans Q[X] / <(X-a)²>.

Merci pour ton aide

[Ben314]

Le fait que la classe (*) de (X-a)^2 dans A=K[X]/<(X-a)^2> ce soit le zéro de A, ben ce que ça te dit, c'est que la classe , c'est un élément nilpotent de A. Et c'est clairement un élément non nul vu que le polynôme (X-a)^2 ne divise pas (X-a).
Bref, c'est la classe (X-a) dans A l'élément "évident" de A qui est nilpotent et non nul.

(*) Et faudrait que tu songe à clairement différencier les éléments de K[X] de leur classes dans le quotient A=K[X]/<(X-a)^2> sinon tu va rapidement y comprendre que dalle à ce que tu écrit...

[tommheolig]

Je comprends déjà plus ou moins quedal : D.

Si je prends (X-a) non nul et nilpotent, comment je peux conclure qu'il n'y a pas isomorphisme ? C'est ça qui me bloque

[tommheolig]

En fait, dans Z/nZ, je visualise ce qu'est une classe d'équivalence. Ici, quand tu me dis la classe de X-a, j'ai aucune idée de ce que ça représente.. je suppose que je peux quand même réussir l'exo.

[Ben314]

C'est exactement tout pareil que dans Z/nZ : sans A=K[X]/(X-a)^2, la classe d'un polynôme P, c'est l'ensemble des polynômes de la forme P+Q(X-A)^2 avec Q polynôme quelconque (comme dans Z/5Z où la classe de 3, c'est l'ensemble des entiers de la forme 3+5k, k dans Z).
Et exactement comme dans Z/nZ où dans chaque classe, on a un élément "relativement privilégié", à savoir l'unique entier de la classe compris entre 0 (inclus) et n (exclu), dans A=K[X]/(X-a)^2, dans chaque classe, il y a un unique polynôme de degré < 2 (car (X-a)^2 est de degré 2) donc il y a une bijection entre les polynômes de la forme aX+b et les classes de A=K[X]/(X-a)^2 (bijection qui est bien un morphisme additif, mais surement pas un morphisme multiplicatif vu que l'ensemble des polynômes de la forme aX+B c'est pas un anneau : le produit XxX n'est pas dedans)

Et concernant ton exo., ben c'est fini vu que le seul élément nilpotent de l'anneau R^2 (muni du produit "terme à terme") c'est (0,0) donc si anneau A est isomorphe à R^2 alors il doit avoir comme unique nilpotent le zéro de A.
Comme ce n'est pas le cas de A=K[X]/(X-a)^2 qui possède un nilpotent non nul, c'est plié.