Inégalité

[scardy123]

Soit ,,
des nombres réels positifs. Prouver que

[Ben314]

Salut,
J'ai une soluce, mais à peine bourinne.... :

En considérant que donc que sont positifs.
(ça prouve aussi qu'il y a égalité ssi ou bien )

[scardy123]

Merci, mais pourquoi remplacez-vous avec et avec ?

[Ben314]

Merci, mais pourquoi remplacez-vous avec et avec ?

Tout simplement parce que "la fin justifie les moyens", c'est à dire qu'en remplaçant a,b,c par ça, il s'avère que le résultat qu'on obtient est clairement positif (somme de nombres positifs) donc ça prouve effectivement le truc demandé (et ça permet même de voir quels sont exactement les cas d'égalité).

Par contre, le POURQUOI avec cette substitution là, on obtient un résultat trivialement positif, ben ça j'en sais rien...

[scardy123]

Ok, mais je n'ai pas compris pourquoi il est légitime que le remplacement ...

[aviateur]

Bonjour
Voici une autre solution que je propose.
Je pose S=" membre de gauche - membre de droite" et je réduit au même dénominateur pour trouver que S est positif ssi le numérateur est positif
i.e on a aussi
h(-a,-b,-c)=-h(a,b,c)
Donc je suppose que a,b et c sont négatifs et il faut donc montrer que
Je pose
et grâce aux symétries, un calcul donne

Le polynôme (d'Hurwitz) ayant ses 3 racines a,b,c strictement négaitves
alors et
Je majore donc h(a,b,c) en remplaçant par
On a alors

Je n'ai pas le temps de regarder les détails mais ça doit être bon.

[Ben314]

Ok, mais je n'ai pas compris pourquoi il est légitime que le remplacement ...

Ben ça, c'est écrit en noir sur blanc dans le post : si tu prend des réels quelconques a,b,c tels que pus que tu pose (définition) alors tu vérifie aisément que et .
Et ça prouve que ça démontre bien le résultat dans toute ça généralité.

@aviateur : c'est (bien évidement) en jouant avec les polynômes symétriques et les liens avec les racines (et Mapple...) que j'ai fini par tomber sur la substitution "magique" ci dessus.
Sauf que perso., vu l'homogénéité de la formule, j'avais pris dès le départ a+b+c=1 (c'est à dire s1=1 ce qui donne du degré bien plus petit dans le truc à étudier), puis, n'arrivant à rien de bien élémentaire, j'ai finalement j'ai pris c=1 pour n'avoir que 2 variables (et ça explique le changement de variable clairement non symétrique en c).

[scardy123]

Merci à tous.