Suite TS

[StangeVolt]

Bonjour bonjour j'ai besoin de votre aide pour cet exercice :
On considère la suite (Un) définie sur IN par U0=5 et u[sub]n+1[/sub]=(3U[sub]n[/sub]-4)/(U[sub]n[/sub]-1) pour tout entier naturel n

a) Montrer, par récurrence, que tout entier naturel n, 2<U[sub]n+1[/sub][smb]infegal[/smb]U[sub]n[/sub][smb]infegal[/smb]5.

b) Que peut t'on en déduire concernant la convergence de la suite (Un)?

c) Soit (Vn) la suite définie pour tout entier naturel n par : Vn=1/(Un-2).

i) Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 1.
ii) Exprimer Vn, puis Un en fonction de n.
iii) Quelle est alors la limite de la suite (Un)?

je bloque a l'hérédité de la récurrence aidez moi s'il vous plait ^^'

(sub signifie que c'est l'indice
infegal signifie que c'est <ou=)

[infernaleur]

Salut, tu as réussis à montrer quelques inégalités ?
Sinon tu pourrais étudier la fonction et appliquer cette fonction dans ta récurrence ( je pense c'est le moyen le plus rapide de trouver le résultat)

[StangeVolt]

cette fonction je l'avais justement dans une question avant celle a laquelle je suis bloqué mais il nous demandais uniquement de determiner ses variations mais je ne vois pas en quoi cette fonction m'aide

[StangeVolt]

et donc je dois montrer que la fonction que vous venez de me donner est inférieure ou égal a 2, et je montre ceci par récurrence?

[StangeVolt]

excusez moi j'essaie plusieurs formes et si ma fonction est 3-(1)/(Un-1) je trouve bien Un>=2 ece bon?

[pascal16]

oui, avec cette forme, l'encadrement par 2 et 5 est facile.
et aussi que

[StangeVolt]

donc je dois faire Un>=2, Un+1=<5 et Un+1<=Un ,mais comment on montre que Un+1=<Un??

[pascal16]

En regardant mes calculs, en effet c'est pas direct.
j'ai repris la forme initiale.
fait Un+1 - Un
tout mis sous même dénominateur
on sait maintenant que Un - 1 est positif, et le signe de la fraction est le même que celle du polynôme de degré 2 du numérateur, calcul de delta, conclusion.

[chan79]

donc je dois faire Un>=2, Un+1=<5 et Un+1<=Un ,mais comment on montre que Un+1=<Un??

salut

Tu dois pouvoir trouver le signe du numérateur et du dénominateur

: grillé

[pascal16]

crosspost, sur ilemath, ils font comment pour que ça soit pas que des crosspost ?

[StangeVolt]

d'accord merci maintenant j'aurais besoin de votre aide pour la suite c) i) j'imagine que pour montrer qu'elle est arithmetique il faut faire Vn+1 mais je n'obtiens pas une suite arithmétique de raison 1.

[chan79]

tu calcules et tu trouveras 1

[pascal16]

Vn+1-Vn= (1/(Un+1 - 2) ) - 1/ -Un - 2)

tu remplaces Un+1 par 3-1/(Un - 1)
la première fraction se simplifie un peu
tu multiplie la première fraction par (Un - 1)/(Un - 1) pour 'remonter' la fraction au dénominateur
la première fraction se simplifie un peu
la reste est facile

[infernaleur]

Pour la 1) au lieu de faire tout séparément, tu procèdes par récurrence sur n.
*L'initialisation tu as du la réussir.
*Pour l'hérédité:
ton hypothèse de récurrence est :

Tu as montré dans les questions précédentes que la fonction est STRICTEMENT croissante. Donc appliquer la fonction dans l'hypothèse de récurrence ne modifie pas le sens des inégalités et les strictes inégalités et tu as donc :

le résultat en découle.

[StangeVolt]

oui merci beaucoup! j'ai réussi par contre je bloque sur Vn+1-Vn j'obtiens Vn+1-Vn=-1-Vn comment avez vous fait?

[infernaleur]

oui merci beaucoup! j'ai réussi par contre je bloque sur Vn+1-Vn j'obtiens Vn+1-Vn=-1-Vn comment avez vous fait?

Sa serait bien que tu écrives ton calcul pour qu'on voit où ce trouve ton erreur.

[StangeVolt]

Vn+1-Vn= 1/(1-1/Un-1) -1/(Un-2)
= Un-1/((Un-1)(1-1/(Un-1)) -1/(Un-2)
= (Un-1)/(Un-1-1) -1/(Un-2)
=-1-1/(Un-2)

[infernaleur]

Vn+1-Vn= 1/(1-1/Un-1) -1/(Un-2)
= Un-1/((Un-1)(1-1/(Un-1)) -1/(Un-2)
= (Un-1)/(Un-1-1) -1/(Un-2)
=-1-1/(Un-2)

Jusque la c'est bon mais à la ligne d'après je comprend pas ....
(Un-1)/(Un-2) -1/(Un-2)=(Un-1-1)/(Un-2) non ???

[StangeVolt]

ah oui effectivement erreur d'inattention je n'ai pas additionné les deux -1 excusez moi du coup je trouve bien 1 merci a vous ^^

[StangeVolt]

du coup pour la ii) on a Vn=1/3 +n?
par contre Un en fonction de n je ne vois pas très bien comment faire ? Un=1/(Vn+2)???