Matrice projection

[LennySacha]

Bonjour à tous! J'ai besoin de votre aide concernant un exercice d'algèbre linéaire.

Le voici: On considère dans R3 le sous espace F de dimension 2 dont une base est donnée par b=(u1,u2) ou u1=(1,0,-1) et u2=(0,2,1).
(1) Donner une équation de F
(2) Donner la matrice de la projection orthogonale pF sur F.
(3) Soit v=(a,b,c) un vecteur de R3. Donner les coordonnées du projeté pF(v) de v sur F.
(4)Le vecteur v=(1,1,1) appartient-il a F? Déterminer les coordonnés du vecteur w ∈ F le plus proche de v.
(5) Déterminer la distance entre v et w

Donc pour le (1) j'ai trouvé x-1/2y+z=0
(2) pF=1/9 x 5 2 4
2 8 2
-4 2 -3
(désolé pour la matrice l'éditeur d'équation ne semble pas fonctionner).
Ensuite pour la question 3 je ne vois pas...

Merci de votre aide!

[aviateur]

Bonjour
La première ligne c'est 5 2 -4 (et non pas 5 2 4 )

Pou la 3 je ne comprends pas ton problème en effet la réponse c'est pF.v (v en colonne)

[LennySacha]

Ok merci pour l'erreur de calcul!
Donc j'ai pour (3) pF(v)={(5a+2b-4c)/9, (2a+8b+2c)/9, (-4a+2b+5c)/9}
pour (4) j'ai w=(1/3,4/3,1/3)

Pour déterminer la distance entre v et w que dois-je faire? Une simple soustraction? :p

[aviateur]

Pour c'est le théorème de Pythagore:
w +(v-w)= v est la somme est orthogonale
Donc puis calculs

ou alors on calcule v-w puis sa norme.

[LennySacha]

Merci beaucoup pour cette réponse.

Du coup j'ai trouvé 1, je suis bon?

[aviateur]

Oui c'est ça.