Serie/Integrale convergente/divergente

[anatol]

Bonjour à tous ,

Je suis en pleine revision avant mes examens et je bloque sur une "integrale" (pas besoin de la calculer juste de montrer si elle est ou non convergente).

Le fichier se trouve en ligne à cette adresse : http://www.famaf.unc.edu.ar/wp-content/uploads/2017/10/2017_analisis2_2C_practico6.pdf

Il s'agit de l'exercice 3-D (integrale de 1 à 5 de , montrer si c'est convergent ou pas)

D'ailleurs je ne sais pas non plus comment resoudre l'exercice suivant (le numero 4).

Pour la 3-E (integrale de 1 à +infini de j'imagine qu'il suffit de dire que l'integrale et la serie sont de même nature (en disant que abs(sin(x)/x²) est + decroissante et continue) , de dire que est majoree par 1/x² et que 1/x² est convergent - serie de Riemann avec alpha plus grand que 1 et que par consequent abs(sin(x)/x²) est convergente car elle est majoree par une serie convergente puis d'enchainer sur le fait que toute serie absolument convergente est convergente).

Merci d'avance aux personnes qui voudront bien m'aider.

[aviateur]

Bonjour pour ton intégrale de 1 à 5, s'il y a un problème de convergence c'est à la borne x=1.
Dans ce cas on cherche un équivalent simple de la fonction:
On a (au voisinage de x=1)

Mais une primitive de est .....
ceci montre que l'intégrale est convergente.

[aviateur]

Pour Le 3-E, il faudrait que tu t'exprimes correctement!

j'imagine qu'il suffit de dire que l'integrale et la serie sont de même nature (en disant que abs(sin(x)/x²) est + decroissante et continue)...

c'est du charabia et cela ne convient pas aux mathématiques.
Je pense que tu fais allusion à une série mais laquelle? et puis faut-il parler de séries ici?

On a pour tout ,...... je te laisse finir

[anatol]

Bonjour Aviateur !

Merci beaucoup pour tes reponses (c'est vrai que j'ai un peu de mal à être rigoureux parfois quand j'ecris , surtout quand j'ai un peu de mal avec le chapitre en cours. D'ailleurs si quelqu'un possède plus d'exercices ou des astuces pour les resoudre je suis preneur car je ne me sens pas très à l'aise encore).

Tu as raison , il n'y a pas besoin de parler de serie ; les integrales suffisent.

Encore merci.

[aviateur]

Rebonjour
On trouve des exercices un peu partout. Dans les livres (corrigés ou non) et aussi sur internet. Maintenant tu peux utiliser le forum quand tu ne sais pas faire, il y aura toujours quelqu'un pour te répondre.

[anatol]

Rebonjour ,

Est ce que quelqu'un pourrait me dire si le raisonnement est bon ? Si je ne fais pas de charabia etc ?



Il y a une singularite en 0.
Est ce que par hasard je peux dire que (pour car ) et que du coup , que et que par consequent est divergente ?
Encore merci d'avance à ceux qui voudront bien m'eclairer .

P.S : J'espère que mes questions n'ont pas trop l'air stupides et qu'elles ne mettront pas la patience de certains à rude epreuve !

[aviateur]

Oui c'est ça.

[anatol]

Bonjour à tous ,

Aujourd'hui encore je fais appel à votre aide. J'ai fini tous mes exercices mais je suis tombe sur cette integrale :



Je vois clairement que lorsque x tend vers 1+ alors le tout tend vers +infini mais je ne sais pas du tout comment montrer que c'est divergent/convergent (encore une fois ...).

J'ai essaye d'integrer par partie ça ne donne rien de probant (on tombe sur ... - integrale (ln(x)e^x) donc ça ne sert à rien) , chercher à minorer/majorer cette fonction ou encore trouver une fonction equivalente (d'ailleurs à ce sujet je dois reconnaitre que je suis vraiment mauvais , je connais par contre la formule des polynomes de Taylor).

Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce .

Petite question pour toi aviateur , comment tu as fait pour trouver que la fonction equivalente de 1/sqrt(x^4-1) etait 1/2sqrt(x-1) (on est d'accord qu'elles sont equivalentes car la lim au point x0 de leur division vaut 1 mais ce qui m'interesse c'est la cheminement , être capable de me dire tiiiiens celle là je vais directement la passer comme ça.

Merci d'avance !

[vejitoblue]

salut! j'ai pensé à ton exo, je vais te donner une réponse mais je suis dans le même cas que toi donc attend un avis d'un mec plus compétent (lostounet aviateur ben eetc)

alors j'ai fait une décomposition en élément simple et on se retrouve avec la somme de deux intégrales dont une du type
je la majore par (vu que exp croit et donc e^2>e^x pour x dans [1,2[) dont la primitive est e² ln(x-1), ensuite on passe à la limite quand x tend vers 1 ln(x-1) tend vers -00 et cette intégrale diverge.
comme l'intégrale en 1/(x+1) n'a pas de souci, alors ton intégrale diverge, à mon avis!!

voilà (j'espère que c'est clair pour toi, ça semble l'être pour moi) ++

edit, en fait il y a peut être une erreur de signe, mais on repare: qui du coup tend vers +oo qd t->1, on à qu'à remplacer 'majorer par e²int(truc)' par 'minorer par e^1int(truc)' on entraine la divergence de notre intégrale en la minorant de la sorte

ouf
++

[aviateur]

Bonjour je réponds aux 2 questions simultanément. Dans les 2 cas, un équivalent simple donne la réponse rapidement en appliquant correctement les résultats généraux des intégrales impropres.
Je commence par la dernière :
où a est une constante non nulle (qu'il n'est pas nécessaire d'évaluer). La non convergence ensuite est donnée dans la fin du message de @vejitoblue

Pour l'intégrale précédente
et ....

Maintenant comment on fait ici pour trouver l'équivalent simple? Et bien on écrit

Pour l'autre exemple, il faut voir que 1 est racine simple de x^4-1.
Donc avec p(x) polynôme de degré 3 et
D'où

Maintenant pour trouver la constante 1/2, j'ai calculé p(1) mais ce n'est pas nécessaire.

[anatol]

Merci beaucoup à vous deux.

Donc si j'ai bien compris pour trouver l'equivalent d'un polynome il suffit de le factoriser en trouvant ses racines et à partir de là scinder la fraction en deux en ayant d'un cote 1/(x-racine) et d'evaluer l'autre partie à la borne qui pose problème ?

Ca sera toujours le cas ? Pour être honnête j'etais carrement parti dans un delire de trouver le polynome de Taylor centre en la borne qui pose problème (c'est pas la solution la plus intelligente ni la plus rapide mais j'etais un peu desespere ...).

Qu'est ce qu'il se passe si je n'ai pas un polynome ? Dans ce cas là j'utilise Taylor ?

[aviateur]

Rebonjour
Attention de ne pas généraliser comme cela. Si la racine est double ou plus, c'est plus pareil. Et puis la question

Qu'est ce qu'il se passe si je n'ai pas un polynôme ? Dans ce cas là j'utilise Taylor ?

il vaut mieux ne pas la poser car il n'y a pas de règle générale. Par contre il y a des pratiques (de calculs ou de raisonnements qui se retrouvent parfois assez souvent) mais la seule réponse possible et sur des exemples.

[anatol]

D'accord message reçu , je vais continuer à m'entrainer pour apprendre tous les exemples possibles.

Encore merci , j'aurais pete un câble sans vous :p !

[anatol]

Bonjour à tous , c'est encore mouaaaaaahahahahhahahhahah ,

J'ai encore un problème :



alors apparemment il faut trouver un equivalent (grrrrrrrrrrrrr) et
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer le pourquoi du comment ?
J'offre une boite de chocolat ferrero par laposte (c'est serieux) à celui qui me fait comprendre comment trouver ces fichues equivalences de manière generale.

Merci

[vejitoblue]

bah ln(1+exp(-n))=exp(-n)+o(exp(-n))

si tu sais pas comment faire, tu dérives ln(1+e^(-n)) tu fais un développement en série de 1/(1+e^{-n}) ( qui vaut et tu réintègres ton developpement limité (en plus c'est à l'ordre 1, on se fatigue)

donc ta série converge j'imagine

désolé, y a pas de formule miracle , à mon avis faut utiliser un tas de résultat d'analyse qu'on oublie un peu souvent

[anatol]

Desole de pas avoir repondu plus tôt mais je continuais de m'entrainer. J'ai approuve mon examen et c'est aussi un peu grâce à vous (aviateur et veji ).

Envoyez moi une adresse postale si vous voulez que je vous envoie les chocolats pour vous remercier en mp :p ! Je vous souhaite de passer de super bonnes fêtes et vous remercie une fois de plus (je vais passer un bon noël hehe)

[Lostounet]

J'ai approuve mon examen et c'est aussi un peu grâce à vous (aviateur et veji ).

Je vous souhaite de passer de super bonnes fêtes et vous remercie une fois de plus (je vais passer un bon noël hehe)

C'est pour ces choses là que j'aime ce forum..
Merci pour votre esprit d'entraide et de reconnaissance qui sont très présents sur cette discussion...

Félicitations pour ton exam et bonnes vacances!

[vejitoblue]

super gg

moi c'est dans une semaine et j'ai pas l'impression d'être prêt

++

[aviateur]

Bonjour
C'est gentil. Mais je crois qu'il faut remercier @lostounet et @ben (numberxx) qui font un superbe travail!!!